Question

【題目】已知a+b＝1，ab＝﹣1，設S1＝a+b，S2＝a2+b2，S3＝a3+b3，…，Sn＝an+bn

（1）計算S2．

（2）請閱讀下面計算S3的過程：

∵a+b＝1，ab＝﹣1

∴S3＝a3+b3＝（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）＝1×S2﹣（﹣1）＝S2+1＝　 　．

你讀懂了嗎？請你先填空完成（2）中S3的計算結果，再用你學到的方法計算S4

（3）試寫出Sn﹣2，Sn﹣1，Sn三者之間的數量關系式（不要求證明，且n是不小于2的自然數），根據得出的數量關系計算S7．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）4，S4＝7；（3）Sn﹣2+Sn﹣1＝Sn，S7＝29．

【解析】

（1）根據完全平方公式即可求出S2；

（2）根據得出的結論，代入即可求出S3；根據完全平方公式即可求出S4；

（3）根據（1）（2）求出的結果得出規律，即可求出答案．

解：（1）S2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣1）＝3；

（2）S3＝S2+1＝3+1＝4；

∵S4＝a4+b4＝（ a2+b2）2﹣2a2b2＝（ a2+b2）2﹣2（ab）2，

又∵a2+b2=3，ab＝﹣1，

∴S4＝7，

故答案為：4．

（3）∵S1＝1，S2＝3，S3＝4，S4＝7，

∴S1+S2＝S3，S2+S3＝S4．

猜想：Sn﹣2+Sn﹣1＝Sn．

∵S3＝4，S4＝7，

∴S5＝S3+S4＝4+7＝11，

∴S6＝S4+S5＝7+11＝18，

∴S7＝S5+S6＝11+18＝29．