Question

如圖，拋物線（b，c是常數，且c＜0）與x軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸的負半軸交于點C，點A的坐標為（-1，0）．
（1）請直接寫出點OA的長度；
（2）若常數b，c滿足關系式：bc=3．求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點P是x軸下方拋物線上的動點，連接PB、PC．設△PBC的面積為S．
①求S的取值范圍；
②若△PBC的面積S為整數，則這樣的點P共有多少個（直接寫出結果）？

Answer 1

解：∵點A的坐標為（-1，0），
∴OA=1；

（2）把點A（-1，0）代入拋物線得，-b+c=0，
∴b=c+，
∵bc=3，
∴（c+）c=3，
整理得，2c²+c-6=0，
解得c₁=（舍去），c₂=-2，
∴b=-2+=-，
拋物線解析式為y=x²-x-2；

（3）①令y=0，則x²-x-2=0，
整理得，x²-3x-4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
∴點B的坐標為（4，0），
∴OB=4，
設點P的橫坐標為x，
點P在y軸左邊時，-1＜x＜0，過點P作PD⊥x軸于D，
△PBC的面積S=S_梯形PCOD+S_△BOC-S_△PBD，
=（-x²+x+2+2）•（-x）+×4×2-（-x²+x+2）•（4-x），
=x²-4x，
∵x＜2時，S隨x的增大而減小，
∴0＜S＜5；
點P在y軸右邊時，0＜x＜4，過點P作PD⊥x軸于D，
△PBC的面積S=S_梯形PCOD+S_△PBD-S_△BOC，
=（-x²+x+2+2）•x+（-x²+x+2）•（4-x）+×2×4，
=-x²+4x，
=-（x-2）²+4，
∵a=-1＜0，
∴當x=2時，S有最大值4，
∴0＜S≤4；
②點P在y軸左邊時，S可取的整數值為1、2、3、4，點P有4個，
點P在y軸右邊時，S可取的整數值有1、2、3、4，點P有7個，
所以，使△PBC的面積S為整數的點P共有11個．
分析：（1）根據點A的坐標寫出OA的長度即可；
（2）把點A的坐標代入拋物線解析式用c表示出b，然后代入bc=3計算求出c的值，再求出b的值，即可得解；
（3）①根據拋物線解析式令y=0解方程求出點B的坐標，從而得到OB的長，再分點P在y軸左邊時，過點P作PD⊥x軸于D，然后根據△PBC的面積S=S_梯形PCOD+S_△BOC-S_△PBD，列式整理，再根據二次函數的增減性求出取值范圍；點P在y軸右邊時，過點P作PD⊥x軸于D，然后根據△PBC的面積S=S_梯形PCOD+S_△PBD-S_△BOC列式整理，再根據二次函數的增減性求解；
②根據S的取值范圍分兩部分確定出點P的個數即可得解．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了二次函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積表示，二次函數的對稱性以及二次函數的函數值的取值范圍的求解，難點在于（3）要分情況討論．