Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=ax2+bx+3交y軸于點A，交x軸正半軸于點C（3，0），交x軸負半軸于點B（﹣1，0），∠ACB=45°．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）點D為線段AC上一點，且AD=2CD，過點D作DE∥y軸，交拋物線一點E，點P為x軸上方拋物線的一點，設點P的橫坐標為t，△PDE的面積為s，求s與t之間的函數關系式，并直接寫出t的范圍；
（3）在（2）的條件下，過點P作PF∥DE交直線AC于點F，是否存在點P，使以點P、F、E、D為頂點的平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把B（﹣1，0），C（3，0），代入函數解析式得：

，

解得：

故拋物線解析式為：y=﹣x2+2x+3

（2）

解：設DE與x軸交于點H，

∵DE∥y軸，AD=2CD，

∴ = = ，

∴DH=CH=1，

∴D（2，1），

∵點E在拋物線上，

∴E（2，3），

∵點P為x軸上方拋物線上的一點，設點P的橫坐標為t，

∴﹣1＜t＜3，

∵△PDE的面積為S，

∴ DE|t﹣2|=S，

∴S=|t﹣2|（﹣1＜t＜3），

即當﹣1＜t＜2時，S=2﹣t，

當2＜t＜3時，S=t﹣2

（3）

解：如圖所示：設直線AC的解析式為y=kx+b，

∴ ，

解得： ，

∴直線AC的解析式為y=﹣x+3，

假設拋物線上存在點P，使以點P、F、E、D為頂點的四邊形為平行四邊形，

設點P坐標為（h，﹣h2+2h+3），

∵PF∥DE，

∴PF=DE，

∴F（h，﹣h+3），

∴﹣h2+2h+3﹣（﹣h+3）=2，

∴h2﹣3h+2=0，

∴h1=1，h2=2，

∴拋物線上存在點P，使以點P、F、E、D為頂點的四邊形為平行四邊形，點P的坐標為（1，4）或（2，3）．

【解析】（1）直接利用點B，C坐標，利用待定系數法求出函數解析即可；（2）由AD=2CD，DE∥y軸，得出D，E兩點的坐標，根據三角形的面積公式即可得出S與t之間的函數關系式，根據B，C兩點坐標直接寫出t的取值范圍；（3）假設拋物線上存在點P，使以點P、F、E、D為頂點的四邊形為平行四邊形，求出直線AC的解析式，設出點P坐標，從而得出點F坐標，整理出關于h的方程，求出P點坐標，使以點P、F、E、D為頂點的四邊形為平行四邊形．