Question

（2012•寧德）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∠D=30°．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)F，CF=4

3

，求弧BC的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析：（1）連接OC．利用切線的性質(zhì)推知△OCD為直角三角形，然后在Rt△OCD中由直角三角形的性質(zhì)求得圓心角∠COB=60°；最后由圓周角定理求得∠A的度數(shù)即可；
（2）利用垂徑定理、特殊角的三角函數(shù)值求得⊙O的半徑OC=4；然后根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式

nπr

180

來求弧BC的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）連接OC．
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD，即∠OCD=90°；
又∵∠D=30°，
∴∠COD=60°，即∠COB=60°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余），
∴∠A=

1

2

∠COD=30°（同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半）；

（2）∵AB是⊙O的直徑，CF⊥AB，CF=4

3

，
∴CE=

1

2

CF=2

3

（垂徑定理）；
由（1）知，∠COB=60°，
∴OC=

CE

sin∠COB

=4，
∴弧BC的長(zhǎng)度為：

60×π×4

180

=

4π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半；垂直于弦的直徑平分弦；運(yùn)用正弦的定義進(jìn)行幾何計(jì)算．