Question

【題目】（Ⅰ）如圖1，在菱形中，已知，，拋物線（）經過，，三點．

（1）點的坐標為__________，點的坐標為__________；

（2）求拋物線的解析式．

（Ⅱ）如圖2，點是的中點，點是的中點，直線垂直于點，點在直線上．

（3）當的值最小時，則點的坐標為____________；

（4）在（3）的條件下，連接、、得，問在拋物線上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（1）， ；（Ⅰ）（2）；（Ⅱ）（3）；（Ⅱ）（4），存在，M點的坐標為、、

【解析】

（Ⅰ）（1）過點B和點C分別是x軸的垂線于H和N，結合菱形的性質和，，即可求出AH，和BH及ON的長度，B點和C點坐標即可得出；

（Ⅰ）（2）把，，三點坐標代入拋物線，即可求得；

（Ⅱ）（3）由題意知AG即為拋物線的對稱軸，C點的對稱點為B，連接OB，（見詳解圖），OB與AG的交點即為P點，的最小值即為OB長度，求出OB的直線解析式，即可求出P點坐標；

（Ⅱ）（4）由題意可知PE=PF，EF∥BC∥OD，進一步可知△PEF是底角為30°，頂角為120°的等腰三角形，設AG與拋物線交點為Q點（即為頂點），D點為O點關于對稱軸的對稱點，連接OB，CD，CQ，BQ，BD，再結合菱形中∠OCB=120°角，可知點O、點Q和點D即為所求M點。

（Ⅰ）（1）過點B和點C分別是x軸的垂線于H和N，

∵，，結合菱形的性質，

∴，,

∴B點坐標為，C點坐標為，

故答案為：， ；

（Ⅰ）（2）將O點坐標，B點，C點坐標三點坐標代入拋物線，可得：

∴拋物線解析式為：

（Ⅱ）（3）由題意知AG為拋物線的對稱軸，C點的對稱點為B，連接OB，OB與AG的交點即為P點，的最小值即為OB長度，

設OB直線為，將O點和B點坐標代入，求得：，

令，y=2，

所以P點坐標為：

（Ⅱ）（4）設AG與拋物線交點為Q點（即為頂點），D點為O點關于對稱軸的對稱點，連接OB，CD，CQ，BQ，BD，

∵點是的中點，點是的中點

∴可知PE=PF，EF∥BC∥OD，

∴△PEF是底角為30°，頂角為120°的等腰三角形，

在△COB與△BCD中，OC=CB=BD，∠OCB=∠CBD=120°，

∴△COB≌△BCD∽△PEF

故O點（0，0）和D點即滿足M點要求；

另在△QCB中，∠QCB=∠BOD=30°，QC=QO，

∴△QCB∽△PEF，

故Q點也滿足M點要求，

故M點的坐標為：、、．

故答案為：（Ⅰ）（1）， ；（Ⅰ）（2）；（Ⅱ）（3）；（Ⅱ）（4），存在，M點的坐標為、、