Question

【題目】已知：在矩形ABCD中，E，F分別是邊AB，AD上的點，過點F作EF的垂線交DC于點H，以EF為直徑作半圓O．

（1）填空：點A （填“在”或“不在”）⊙O上；當弦AE等于弦AF時，的值是 ；

（2）如圖1，在△EFH中，當FE＝FH時，求證：AD＝AE+DH；

（3）如圖2，當△EFH的頂點F是邊AD的中點時，求證：EH＝AE+DH；

（4）如圖3，點M在線段FH的延長線上，若FM＝FE，連接EM交DC于點N，連接FN，當AE＝AD時，FN＝4，HN＝3，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）在，1；（2）證明見解析；（3）證明見解析；（4）

【解析】

（1）連接AO，∠EAF＝90°，O為EF中點，所以AO=EF，因此點A在⊙O上，當弦AE等于弦AF時，∠AEF＝45°，tanAEF=tan45°==1；

（2）證明△AEF≌△DFH（AAS），得到AF＝DH，AE＝DF，所以AD＝AF+DF＝AE+DH；

（3）延長EF交HD的延長線于點G，先證明△AEF≌△DGF（ASA），所以AE＝DG，EF＝FG，因為EF⊥FG，所以EH＝GH，GH＝DH+DG＝DH+AE，即EH＝AE+DH；

（4）過點M作MQ⊥AD于點Q，設AF=x，AE=a,所以△EFM是等腰直角三角形，∠FEM=∠FMN=45°，因此△AEF≌△QFM（ASA），AE=EQ=a，AF=QM，AE=AD，AF=DQ=QM，由△FEN∽△HMN，得到，所以tanAEF==.

（1）連接AO，如圖1所示：

∵∠EAF＝90°，O為EF中點，

∴AO=EF，

∴點A在⊙O上，

當弦AE等于弦AF時，∠AEF＝45°，

∴tanAEF=tan45°==1.

故點A在⊙O上；當弦AE等于弦AF時，的值是1.

（2）∵EF⊥FH，

∴∠EFH＝90°，

在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，

∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠DFH＝90°，

∴∠AEF＝∠DFH，

又FE＝FH，

∴△AEF≌△DFH（AAS），

∴AF＝DH，AE＝DF，

∴AD＝AF+DF＝AE+DH；

（3）如圖2所示，延長EF交HD的延長線于點G，

∵F分別是邊AD上的中點，

∴AF＝DF，

∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，

∴△AEF≌△DGF（ASA），

∴AE＝DG，EF＝FG，

∵EF⊥FG，

∴EH＝GH，

∴GH＝DH+DG＝DH+AE，

∴EH＝AE+DH；

（4）過點M作MQ⊥AD于點Q，如圖3所示，

設AF=x，AE=a,

∵FM=FE，EF⊥FH，

∴△EFM是等腰直角三角形，

∴∠FEM=∠FMN=45°，

∵FM=FE，

∠A=∠MQF=90°，

∠AEF=∠MFQ，

∴△AEF≌△QFM（ASA），

∴AE=EQ=a，AF=QM，

∵AE=AD，

∴AF=DQ=QM=x，

∵DCQM，

∴，

∵DCABQM，

∴，

∴，

∵FE=FM，

，

∠FEM=∠FMN=45°，

∴△FEN∽△HMN，

∴，

∴tanAEF==.