Question

問題背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為

5

、

10

、

13

，求這個三角形的面積．
小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網格就能計算出它的面積．我們把上述求△ABC面積的方法叫做構圖法．
（1）若△ABC三邊的長分別為

5

a，2

2

a，

17

a（a＞0），請利用圖②的正方形網格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應的△ABC，并求出它的面積．
思維拓展：
（2）若△ABC三邊的長分別為

m2+16n2

，

9m2+4n2

，2

m2+n2

（m＞0，n＞0，且m≠n），試運用構圖法求出這三角形的面積．
探索創新：
（3）已知a、b都是正數，a+b=3，求當a、b為何值時

a2+4

+

b2+25

有最小值，并求這個最小值．
（4）已知a，b，c，d都是正數，且a²+b²=c²，c

a2-d2

=a²，求證：ab=cd．

Answer 1

分析：（1）

5

a是直角邊長為a，2a的直角三角形的斜邊；2

2

a是直角邊長為2a，2a的直角三角形的斜邊；

17

a是直角邊長為a，4a的直角三角形的斜邊，把它整理為一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積；
（2）結合（1）易得此三角形的三邊分別是直角邊長為m，4n的直角三角形的斜邊；直角邊長為3m，2n的直角三角形的斜邊；直角邊長為2m，2n的直角三角形的斜邊．同樣把它整理為一個矩形的面積由（1）的結果可作BD=12，過點A作AF∥BD，交DE的延長線于F點，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質（3）可作BD=3，過點A作AF∥BD，交DE的延長線于F點，使AB=2，ED=5，連接AE交BD于點C，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質可求得AE的值就是代數式

a2+4

+

b2+25

的最小值．
（4）根據a²+b²=c²，c

a2-d2

=a²，得出c²（a²-d²）=a⁴，進而得出（a²+b²）（a²-d²）=a⁴，再去括號得出a²b²=d²c²，即可得出答案．

解答：解：（1）如圖：

S_△ABC=2a×4a-

1

2

a×2a-

1

2

×2a×2a-

1

2

a×4a=3a²；

（2）構造△ABC所示，（未在試卷上畫出圖形不扣分）

S_△ABC=3m×4n-

1

2

×m×4n-

1

2

×3m×2n-

1

2

×2m×2n=5mn．  

（3）如圖所示：已知AB=2，DE=5，BD=3，
AB⊥BD，DE⊥BD，當AE在一條直線上時，AC+CE最小，
由題意得出：AB∥DE，
∴△ABC′∽△EDC′，
∴

AB

ED

=

BC′

C′D

，
∴

2

5

=

BC′

3-BC′

，
解得：BC′=

6

7

，C′D=3-

6

7

=

15

7

，
過點A作AF∥BD，交DE的延長線于F點，
根據題意，四邊形ABDF為矩形．
EF=AB+DE=2+5=7，AF=DB=3．
∴AE=

49+9

=

58

．
即AC+CE的最小值是

58

，
故：a=

6

7

，b=3-

6

7

=

15

7

時，

a2+4

+

b2+25

有最小值為

58

．


（4）證明：∵a²+b²=c²，c

a2-d2

=a²，
∴c²（a²-d²）=a⁴，
則（a²+b²）（a²-d²）=a⁴，
整理得出：a²b²=a²d²+b²d²，
∴a²b²=d²（a²+b²），
∴a²b²=d²c²，
∵a，b，c，d都是正數，
∴ab=cd．

點評：此題主要考查了最短路線問題以及勾股定理應用，利用了數形結合的思想，通過構造直角三角形，利用勾股定理求解是解題關鍵．，關鍵是結合網格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進行解答．