Question

【題目】閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題．
探究一：如圖1，在△ABC中，已知O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+ ∠A，理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC與∠ACB的平分線，
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB；
∴∠1+∠2= （∠ABC+∠ACB）= （180°﹣∠A）=90°﹣ ∠A，
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣ ∠A）=90°+ ∠A．

（1）探究二：如圖2中，已知O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？并說明理由．
（2）探究二：如圖3中，已知O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？

Answer 1

【答案】
（1）解：探究2結(jié)論：∠BOC= ∠A．

理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，

∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD，

又∵∠ACD是△ABC的一個外角，

∴∠2= ∠ACD= （∠A+∠ABC）= ∠A+∠1，

∵∠2是△BOC的一個外角，

∴∠BOC=∠2﹣∠1= ∠A+∠1﹣∠1= ∠A，

即∠BOC= ∠A

（2）解：由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義，∠OBC= （∠A+∠ACB），∠OCB= （∠A+∠ABC），

在△BOC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣ （∠A+∠ACB）﹣ （∠A+∠ABC），

=180°﹣ （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），

=180°﹣ （180°+∠A），

=90°﹣ ∠A

【解析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和和角平分線的定義可得∠2= ∠ACD= （∠A+∠ABC），∠BOC=∠2﹣∠1，然后整理即可得解；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解答．
【考點精析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和外角和三角形的外角的相關(guān)知識點，需要掌握三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角才能正確解答此題．