Question

【題目】如圖，已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，將一塊三角尺的直角頂點與斜邊AB的中點M重合，當三角尺繞著點M旋轉時，兩直角邊始終保持分別與邊BC、AC交于D，E兩點（D、E不與B、A重合）．

（1）求證：MD＝ME；

（2）求四邊形MDCE的面積；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）1

【解析】

（1）連接CM，根據∠BMD＝90°﹣∠DMC，∠EMC＝90°﹣∠DMC，可證明∠BMD=∠CME，根據等腰直角三角形的性質可得∠B＝∠MCA=45°．根據直角三角形斜邊中線的性質可得CM=BM，即可證明△BDM≌△CEM，然后即可證MD=ME；（2）利用三角形全等可知四邊形MDCE的面積等于△CMB的面積，即可得答案.

（1）證明：連接CM，在Rt△ABC中，M是AB的中點，且AC＝BC，

∴CM＝AB＝BM，

∠MCA＝∠B＝45°，CM⊥AB，

而∠BMD＝90°﹣∠DMC，∠EMC＝90°﹣∠DMC．

∴∠BMD＝∠EMC．

△BDM≌△CEM（ASA）．

∴MD＝ME

（2）∵△BDM≌△CEM，

∴S四邊形MDCE＝S△DMC+S△CME＝S△DMC+S△BMD＝S△BCM＝S△ACB＝××2×2=1.

∴四邊形MDCE的面積為1；