Question

【題目】如圖，拋物線y＝－x2＋2x＋m＋1交x軸于點A(a，0)和B（b，0），交y軸于點C，拋物線的頂點為D，下列四個判斷：①當x>0時，y>0；②若a＝－1，則b＝4；③拋物線上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1<1< x2，且x1＋x2>2，則y1> y2；④點C關于拋物線對稱軸的對稱點為E，點G，F分別在x軸和y軸上，當m＝2時，四邊形EDFG周長的最小值為．其中正確判斷的序號是（ ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

Answer 1

【答案】C

【解析】試題分析：①根據二次函數所過象限，判斷出y的符號；

②根據A、B關于對稱軸對稱，求出b的值；

③根據＞1，得到x1＜1＜x2，從而得到Q點距離對稱軸較遠，進而判斷出y1＞y2；

④作D關于y軸的對稱點D′，E關于x軸的對稱點E′，連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值．求出D、E、D′、E′的坐標即可解答．

解：①當x＞0時，函數圖象過一四象限，當0＜x＜b時，y＞0；當x＞b時，y＜0，故本選項錯誤；

②二次函數對稱軸為x=﹣=1，當a=﹣1時有=1，解得b=3，故本選項錯誤；

③∵x1+x2＞2，

∴＞1，

又∵x1﹣1＜1＜x2﹣1，

∴Q點距離對稱軸較遠，

∴y1＞y2，故本選項正確；

④如圖，作D關于y軸的對稱點D′，E關于x軸的對稱點E′，

連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值．

當m=2時，二次函數為y=﹣x2+2x+3，頂點縱坐標為y=﹣1+2+3=4，D為（1，4），則D′為（﹣1，4）；C點坐標為C（0，3）；則E為（2，3），E′為（2，﹣3）；

則DE==；D′E′==；

∴四邊形EDFG周長的最小值為+，故本選項錯誤．

故選C．