Question

【題目】如圖1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為2cm/s．以AQ、PQ為邊作平行四邊形AQPD，連接DQ，交AB于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：

（1）用含有t的代數(shù)式表示AE= ．

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，平行四邊形AQPD為矩形．

（3）如圖2，當(dāng)t為何值時(shí)，平行四邊形AQPD為菱形．

Answer 1

【答案】

（1）AE=AP=5﹣t；

（2）當(dāng)t=時(shí)，AQPD是矩形；

（3）當(dāng)t=時(shí)，□AQPD是菱形．

【解析】

試題分析：（1）首先利用勾股定理求得AB=10，然后表示出AP，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分表示出線段AE即可；

（2）利用矩形的性質(zhì)得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式即可求得t值；

（3）利用菱形的性質(zhì)得到．

試題解析：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．∴由勾股定理得：AB=10cm，

∵點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度均為2cm/s，∴BP=2tcm，

∴AP=AB﹣BP=10﹣2t，∵四邊形AQPD為平行四邊形，∴AE=AP=5﹣t；

（2）當(dāng)AQPD是矩形時(shí)，PQ⊥AC，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，即，解之 t=．∴當(dāng)t=時(shí)，AQPD是矩形；

（3）當(dāng)AQPD是菱形時(shí)，DQ⊥AP，則 COS∠BAC==，即，解之 t=

∴當(dāng)t=時(shí)，□AQPD是菱形．