Question

【題目】如圖1，菱形ABCD中，∠A=60°，點P從A出發，以2cm/s的速度沿邊AB、BC、CD勻速運動到D終止，點Q從A與P同時出發，沿邊AD勻速運動到D終止，設點P運動的時間為t（s）．△APQ的面積S（cm2）與t（s）之間函數關系的圖象由圖2中的曲線段OE與線段EF、FG給出．

（1）求點Q運動的速度；
（2）求圖2中線段FG的函數關系式；
（3）問：是否存在這樣的t，使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1：5的兩部分？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，可知題圖2中點E表示點P運動至點B時的情形，所用時間為3s，則菱形的邊長AB=2×3=6cm．

此時如答圖1所示：

AQ邊上的高h=ABsin60°=6× = cm，

S=S△APQ= AQh= AQ× = ，解得AQ=3cm，

∴點Q的運動速度為：3÷3=1cm/s

（2）

解：由題意，可知題圖2中FG段表示點P在線段CD上運動時的情形．如答圖2所示：

點Q運動至點D所需時間為：6÷1=6s，點P運動至點C所需時間為12÷2=6s，至終點D所需時間為18÷2=9s．

因此在FG段內，點Q運動至點D停止運動，點P在線段CD上繼續運動，且時間t的取值范圍為：6≤t≤9．

過點P作PE⊥AD交AD的延長線于點E，則PE=PDsin60°=（18﹣2t）× = t+ ．

S=S△APQ= ADPE= ×6×（ t+ ）= t+ ，

∴FG段的函數表達式為：S= t+ （6≤t≤9）

（3）

解：菱形ABCD的面積為：6×6×sin60°= ．

當點P在AB上運動時，PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，如答圖3所示．

此時△APQ的面積S= AQAPsin60°= t2t× = t2，

根據題意，得 t2= × ，

解得t= s（舍去負值）；

當點P在BC上運動時，PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，如答圖4所示．

此時，有S梯形ABPQ= S菱形ABCD，即 （2t﹣6+t）×6× = × ，

解得t= s．

∴存在t= 和t= ，使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1：5的兩部分

【解析】（1）根據函數圖象中E點所代表的實際意義求解．E點表示點P運動到與點B重合時的情形，運動時間為3s，可得AB=6cm；再由S△APQ= ，可求得AQ的長度，進而得到點Q的運動速度；（2）函數圖象中線段FG，表示點Q運動至終點D之后停止運動，而點P在線段CD上繼續運動的情形．如答圖2所示，求出S的表達式，并確定t的取值范圍；（3）當點P在AB上運動時，PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，如答圖3所示，求出t的值；當點P在BC上運動時，PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，如答圖4所示，求出t的值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質和菱形的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能正確解答此題．