Question

【題目】如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD延長線上的一點，連接PA，過點P作PE⊥PA交BC的延長線于點E，過點E作EF⊥BP于點F，則下列結論中：①PA＝PE；②CE＝PD；③BF﹣PD＝BD；④S△PEF＝S△ADP，正確的是___（填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①②③．

【解析】

①解法一：如圖1，作輔助線，構建三角形全等和平行四邊形，證明，得BG=PE，再證明四邊形ABGP是平行四邊形，可得結論；
解法二：如圖2，連接AE，利用四點共圓證明△APE是等腰直角三角形，可得結論；
②如圖3，作輔助線，證明四邊形DCGP是平行四邊形，可得結論；
③證明四邊形OCGF是矩形，可作判斷；
④證明，則，可作判斷．

①解法一：如圖1，在EF上取一點G，使FG＝FP，連接BG、PG，

∵EF⊥BP，

∴∠BFE＝90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠FBC＝∠ABD＝45°，

∴BF＝EF，

在△BFG和△EFP中，

∵ ，

∴△BFG≌△EFP（SAS），

∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF，

∵∠ABD＝∠FPG＝45°，

∴AB∥PG，

∵AP⊥PE，

∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°，

∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF，

∴AP∥BG，

∴四邊形ABGP是平行四邊形，

∴AP＝BG，

∴AP＝PE；

解法二：如圖2，連接AE，∵∠ABC＝∠APE＝90°，

∴A、B、E、P四點共圓，

∴∠EAP＝∠PBC＝45°，

∵AP⊥PE，

∴∠APE＝90°，

∴△APE是等腰直角三角形，

∴AP＝PE，

故①正確；

②如圖3，連接CG，由①知：PG∥AB，PG＝AB，

∵AB＝CD，AB∥CD，

∴PG∥CD，PG＝CD，

∴四邊形DCGP是平行四邊形，

∴CG＝PD，CG∥PD，

∵PD⊥EF，

∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°，

∵∠CEG＝45°，

∴；

故②正確；

③如圖4，連接AC交BD于O，由②知：∠CGF＝∠GFD＝90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∴∠COF＝90°，

∴四邊形OCGF是矩形，

∴CG＝OF＝PD，

∴，

故③正確；

④如圖4中，在△AOP和△PFE中，

∵ ，

∴△AOP≌△PFE（AAS），

∴，

∴，

故④不正確；

本題結論正確的有：①②③，

故答案為：①②③．