Question

【題目】在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，點D為邊BC的中點，DE⊥BC交邊AC于點E，點P為射線AB上一動點，點Q為邊AC上一動點，且∠PDQ=90°．

（1）求ED、EC的長；

（2）若BP=2，求CQ的長；

（3）記線段PQ與線段DE的交點為點F，若△PDF為等腰三角形，求BP的長．

Answer 1

【答案】（1），；（2）CQ或CQ；（3）或

【解析】

試題分析：（1）先根據勾股定理求得BC的長，再結合點D為BC的中點可得CD的長，然后證得△ABC∽△DEC，根據相似三角形的性質即可求得結果；

（2）分①當點P在AB邊上時，②當點P在AB的延長線上時，根據相似三角形的性質求解即可；

（3）由△BPD∽△EQD可得，若設BP=x ，則，，可得，即得∠QPD=∠C，又可證∠PDE=∠CDQ，則可得△PDF∽△CDQ，再分①當CQ=CD時，②當QC=QD時，③當DC=DQ時，三種情況，根據等腰三角形的性質求解即可.

（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8

∴BC=10

點D為BC的中點

∴CD=5

可證△ABC∽△DEC

∴， 即

∴，；

（2）①當點P在AB邊上時，在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°，

在Rt△EDC中，∠DEC+∠C=90°，

∴∠DEC=∠B

∵DE⊥BC，∠PDQ=90°

∴∠PDQ=∠BDE=90°

∴∠BDP=∠EDQ

∴△BPD∽△EQD

∴，即，

∴

∴CQ=EC-EQ；

②當點P在AB的延長線上時，同理可得：，

∴CQ=EC+EQ；

（3）∵線段PQ與線段DE的交點為點F，

∴點P在邊AB上

∵△BPD∽△EQD

∴

若設BP=x ，則，，可得

∴∠QPD=∠C

又可證∠PDE=∠CDQ

∴△PDF∽△CDQ

∵△PDF為等腰三角形

∴△CDQ為等腰三角形

①當CQ=CD時，可得，解得

②當QC=QD時， 過點Q作QM⊥CB于M，

∴，

∴，解得

③當DC=DQ時，過點D作DN⊥CQ于N，

∴，

∴，解得(不合題意，舍去)

∴綜上所述，或.