Question

（2012•廣州）如圖，拋物線y=-

3

8

x2-

3

4

x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
（1）求點A、B的坐標；
（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標；
（3）若直線l過點E（4，0），M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．

Answer 1

分析：（1）A、B點為拋物線與x軸交點，令y=0，解一元二次方程即可．
（2）根據題意求出△ACD中AC邊上的高，設為h．在坐標平面內，作AC的平行線，平行線之間的距離等于h．根據等底等高面積相等，可知平行線與坐標軸的交點即為所求的D點．
從一次函數的觀點來看，這樣的平行線可以看做是直線AC向上或向下平移而形成．因此先求出直線AC的解析式，再求出平移距離，即可求得所作平行線的解析式，從而求得D點坐標．
注意：這樣的平行線有兩條，如答圖1所示．
（3）本問關鍵是理解“以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個”的含義．
因為過A、B點作x軸的垂線，其與直線l的兩個交點均可以與A、B點構成直角三角形，這樣已經有符合題意的兩個直角三角形；第三個直角三角形從直線與圓的位置關系方面考慮，以AB為直徑作圓，當直線與圓相切時，根據圓周角定理，切點與A、B點構成直角三角形．從而問題得解．
注意：這樣的切線有兩條，如答圖2所示．

解答：解：（1）令y=0，即-

3

8

x2-

3

4

x+3=0，
解得x₁=-4，x₂=2，
∴A、B點的坐標為A（-4，0）、B（2，0）．

（2）拋物線y=-

3

8

x2-

3

4

x+3的對稱軸是直線x=-

- 3 4

2×(- 3 8 )

=-1，
即D點的橫坐標是-1，
S_△ACB=

1

2

AB•OC=9，
在Rt△AOC中，AC=

OA2+OC2

=

42+32

=5，
設△ACD中AC邊上的高為h，則有

1

2

AC•h=9，解得h=

18

5

．
如答圖1，在坐標平面內作直線平行于AC，且到AC的距離=h=

18

5

，這樣的直線有2條，分別是l₁和l₂，則直線與對稱軸x=-1的兩個交點即為所求的點D．
設l₁交y軸于E，過C作CF⊥l₁于F，則CF=h=

18

5

，
∴CE=

CF

sin∠CEF

=

CF

sin∠OCA

=

18 5

4 5

=

9

2

．
設直線AC的解析式為y=kx+b，將A（-4，0），C（0，3）坐標代入，
得到

-4k+b=0 b=3

，解得

k= 3 4 b=3

，
∴直線AC解析式為y=

3

4

x+3．
直線l₁可以看做直線AC向下平移CE長度單位（

9

2

個長度單位）而形成的，
∴直線l₁的解析式為y=

3

4

x+3-

9

2

=

3

4

x-

3

2

．
則D₁的縱坐標為

3

4

×（-1）-

3

2

=-

9

4

，∴D₁（-1，-

9

4

）．
同理，直線AC向上平移

9

2

個長度單位得到l₂，可求得D₂（-1，

27

4

）
綜上所述，D點坐標為：D₁（-1，-

9

4

），D₂（-1，

27

4

）．

（3）如答圖2，以AB為直徑作⊙F，圓心為F．過E點作⊙F的切線，這樣的切線有2條．
連接FM，過M作MN⊥x軸于點N．
∵A（-4，0），B（2，0），
∴F（-1，0），⊙F半徑FM=FB=3．
又FE=5，則在Rt△MEF中，
ME=

52-32

=4，sin∠MFE=

4

5

，cos∠MFE=

3

5

．
在Rt△FMN中，MN=MF•sin∠MFE=3×

4

5

=

12

5

，
FN=MF•cos∠MFE=3×

3

5

=

9

5

，則ON=

4

5

，
∴M點坐標為（

4

5

，

12

5

）
直線l過M（

4

5

，

12

5

），E（4，0），
設直線l的解析式為y=kx+b，則有

4 5 k+b= 12 5 4k+b=0

，解得

k=- 3 4 b=3

，
所以直線l的解析式為y=-

3

4

x+3．
同理，可以求得另一條切線的解析式為y=

3

4

x-3．
綜上所述，直線l的解析式為y=-

3

4

x+3或y=

3

4

x-3．

點評：本題解題關鍵是二次函數、一次函數以及圓等知識的綜合運用．難點在于第（3）問中對于“以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個”條件的理解，這可以從直線與圓的位置關系方面入手解決．本題難度較大，需要同學們對所學知識融會貫通、靈活運用．