Question

某精品水果超市銷售一種進(jìn)口水果A，從去年1至7月，這種水果的進(jìn)價(jià)一路攀升，每千克A的進(jìn)價(jià)y₁與月份x（1≤x≤7，且x為整數(shù)），之間的函數(shù)關(guān)系式如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7
y1（元/千克）	50	60	70	80	90	100	110

隨著我國對一些國家進(jìn)出口關(guān)稅的調(diào)整，該水果的進(jìn)價(jià)漲勢趨緩，在8至12月份每千克水果A的進(jìn)價(jià)y₂與月份x（8≤x≤12，且x為整數(shù)）之間存在如下圖所示的變化趨勢．
（1）請觀察表格和圖象，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的有關(guān)知識分別寫出y₁與x和y₂與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若去年該水果的售價(jià)為每千克180元，且銷售該水果每月必須支出（除進(jìn)價(jià)外）的固定支出為300元，已知該水果在1月至7月的銷量p₁（千克）與月份x滿足：p₁=10x+80；8月至12月的銷量p₂（千克）與月份x滿足：p₂=-10x+250；則該水果在第幾月銷售時(shí)，可使該月所獲得的利潤最大？并求出此時(shí)的最大利潤．
（3）今年1月到6月，該進(jìn)口水果的進(jìn)價(jià)進(jìn)行調(diào)整，每月進(jìn)價(jià)均比去年12月的進(jìn)價(jià)上漲15元，且每月的固定支出（除進(jìn)價(jià)外）增加了15%，已知該進(jìn)口水果的售價(jià)在去年的基礎(chǔ)上提高了a%（a＜100），與此同時(shí)每月的銷量均在去年12月的基礎(chǔ)上減少了0.2a%，這樣銷售下去要使今年1至6月的總利潤為68130元，試求出a的值．（保留兩個(gè)有效數(shù)字）（參考數(shù)據(jù)：23²=529，24²=576，25²=625，26²=676）

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法分別將（1，50），（2，60）和（8，15）（12，135）分別代入得出解析式即可；
（2）根據(jù)所獲得的利潤=銷售數(shù)量×（售價(jià)-進(jìn)價(jià)），就可以表示出銷售利潤與月份之間的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)而求出最值即可；
（3）利用上年12月份的進(jìn)價(jià)，固定支出以及銷量表示出今年的進(jìn)價(jià)，固定支出以及銷量即可得出關(guān)于1至6月的總利潤的方程，進(jìn)而求出a即可．

解答：解：（1）由表格可知，y₁是x的一次函數(shù)．
設(shè)y₁=k₁x+b₁（k₁≠0）．
將（1，50），（2，60）分別代入得：

k1+b1=50 2k1+b1=60.

解這個(gè)方程組得  

k1=10 b1=40.

∴y₁=10x+40．
經(jīng)驗(yàn)證其余各組值也均滿足此函數(shù)關(guān)系式．
∴y₁=10x+40．
設(shè)y₂=k₂x+b₂（k₂≠0）．
將坐標(biāo)（8，15）（12，135）分別代入得：

8k2+b2=115 12k2+b2=135

解得：

k2=5 b2=75

，
故y₂=5x+75．

（2）設(shè)：利潤為W元．
當(dāng)1≤x≤7時(shí)，
W₁=（180-10x-40）•（10x+80）-300，
=（-10x+140）（10x+800）-300，
=-100x ²+600x+10900，
-

b

2a

=-

600

-200

=3．
∴當(dāng)x=3時(shí)，W₁有最大值，W_1大=11800．
當(dāng)8≤x≤12時(shí)，
W₂=（180-5x-75）（-10x+250）-300
=（-5x+105）（-10x+250）-300
=50x²-2300x+25950．
∵-

b

2a

=-

-2300

100

=23，又x＜23，
∴W₂隨x增大而減小，∴x=8時(shí)，W₂有最大值，
W_2大=10750．
∵W_1大＞W(wǎng)_2大
∴在第3月時(shí)，可獲最大利潤11800．

（3）根據(jù)題意可得出：6×[180（1+a%）-（5×12+75+15）]•（-10×12+250）（1-0.2a%）-6×300（1+15%）=68130．
令a%=t，原方程化為[6（1+t）-5]（1-

1

5

t）-3=0．
整理得    6t²-29t+10=0．∴t=

29± 601

12

≈

29±25

12

．
則t1=

4

12

=

1

3

≈33.3%，t2=

54

12

=450%．
∴a₁≈33，a₂=450（舍）．
∴a=33．
即：a的值為33．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合試題以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式求最值的運(yùn)用及一元二次方程的解法及運(yùn)用．