Question

如圖，已知直線l經(jīng)過點(diǎn)D（-1，4），與x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且直角△AOB的內(nèi)切圓的面積為π，求直線l對應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

分析：要求直線l對應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式，由直線l經(jīng)過點(diǎn)D（-1，4），根據(jù)待定系數(shù)法，只需求出此直線上另外一點(diǎn)F的坐標(biāo)即可．設(shè)直角△AOB的內(nèi)切圓⊙M與OA、OB、AB分別切于點(diǎn)G、E、F．先由直角△AOB的內(nèi)切圓的面積為π，得出其內(nèi)切圓面積為1，易證四邊形OGME是正方形，得出點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-1，0）．再延長GM交AB于N，證明點(diǎn)N與點(diǎn)D重合．然后過點(diǎn)F作FP⊥OB于P，交GN于H．分別解RT△MNF和RT△HNF，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)直角△AOB的內(nèi)切圓⊙M與OA、OB、AB分別切于點(diǎn)G、E、F，則∠MGO=∠MFB=∠OEM=90°．
∵⊙M的面積為π，
∴π×ME²=π，
∴ME=1．
∵∠MGO=∠GOE=∠OEM=90°，MG=ME，
∴四邊形OGME是正方形，
∴OG=1，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-1，0）．
延長GM交AB于N，則NG⊥OA，
∴N點(diǎn)橫坐標(biāo)與G點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，是-1，
又∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)D（-1，4），
∴點(diǎn)N與點(diǎn)D重合．
∴MN=NG-MG=4-1=3．
在RT△MNF中，MN=3，MF=1，
由勾股定理，可知FN=2

2

．
∴sin∠FNM=

1

3

，tan∠FNM=

1

2 2

=

2

4

．
過點(diǎn)F作FP⊥OB于P，交GN于H，則FP=FH+HP=FH+ME=FH+1，HG=HM+MG=HM+1．
在Rt△HNF中，∠FHN=90°，F(xiàn)N=2

2

，sin∠FNH=

1

3

，
∴FH=FN•sin∠FNH=

2 2

3

，
∴FP=

2 2

3

+1=

2 2 +3

3

；
在RT△MHF中，∠FHN=90°，F(xiàn)H=

2 2

3

，tan∠MFH=tan∠FNM=

2

4

，
∴HM=FH•tan∠MFH=

2 2

3

×

2

4

=

1

3

，
∴HG=

1

3

+1=

4

3

，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-

2 2 +3

3

，

4

3

）．
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b．
∵直線l經(jīng)過點(diǎn)D（-1，4），點(diǎn)F（-

2 2 +3

3

，

4

3

），
∴

-k+b=4 - 2 2 +3 3 k+b= 4 3

，
解得

k=2 2 b=4+2 2

．
故所求直線l的解析式為y=2

2

x+4+2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了直角三角形內(nèi)切圓半徑的求法，切線的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，解直角三角形及運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．