Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OABC的頂點O與原點重合，頂點A，C分別在x軸、y軸上，反比例函數y＝（k≠0，x＞0）的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點M、N，連接OM、ON、MN．若∠MON＝45°，則k的值為_____．

Answer 1

【答案】﹣1

【解析】

由點M、N都在y=的圖象上，及正方形的性質可得出 CN=AM，將△OAM繞點O逆時針旋轉90°，可證出△M'ON≌△MON（SAS），由此即可得出M′N=MN，再由CN=AM，通過邊與邊之間的關系即可得出BM=BN，設AM=CN=x，則BM=BN=1-x，MN=2x，在Rt△BMN中，利用勾股定理列出x的方程，求得x的值，便可得出M點的坐標，最后用待定系數法求得k便可．

解：∵點M、N都在y＝的圖象上，

∴S△ONC＝S△OAM＝|k|．

∵四邊形ABCO為正方形，

∴OC＝OA，∠OCN＝∠OAM＝90°，

∴OCCN＝OAAM．

∴CN＝AM．

將△OAM繞點O逆時針旋轉90°，點M對應M′，點A對應C，如圖所示．

∵∠OCM′+∠OCN＝180°，

∴N、C、M′共線．

∵∠COA＝90°，∠NOM＝45°，

∴∠CON+∠MOA＝45°．

∵△OAM旋轉得到△OCM′，

∴∠MOA＝∠M′OC，

∴∠CON+∠COM'＝45°，

∴∠M'ON＝∠MON＝45°．

在△M'ON與△MON中，

，

∴△M'ON≌△MON（SAS），

∴MN＝M'N．

∵CN＝AM．

又∵BC＝BA，

∴BN＝BM．

設AM＝CN＝x，則BM＝BN＝1﹣x，MN＝2x，

又∵∠B＝90°，

∴BN2+BM2＝MN2，

∴(1﹣x)2+(1﹣x)2＝(2x)2，

解得，x＝﹣1，或x＝﹣﹣1（舍去），

∴AM＝﹣1，

∴M(1，﹣1)，

∵M點在反比例函數y＝（k≠0，x＞0）的圖象上，

∴k＝1×(﹣1)＝﹣1，

故答案為：﹣1．