Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，A(a，0)，B(0，b)，C（-a，0），且+b2-4b+4=0．

(1)求證：∠ABC=90°；

(2)∠ABO的平分線交x軸于點D，求D點的坐標．

(3)如圖，在線段AB上有兩動點M、N滿足∠MON=45°，求證：BM2+AN2=MN2．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）根據非負數的性質求出a、b的值，根據直角三角形的判定定理證明；
（2）過D作DE⊥AB于E，由于BD是∠ABO的角平分線，根據角平分線的性質知DO=DE，即可證得OD=DE，根據三角形的面積公式計算即可；
（3）把△OBM繞點O順時針旋轉90°，則旋轉后B點與A點重合，點M對應點E，連結NE，由于∠MON=45°，那么∠EON=∠MON=45°，即可證得△MON≌△EON，MN=NE；同理可通過證△MON≌△EON，來得到BM=AN，∠OAE=∠OBM=45°，因此在Rt△NAE中，根據勾股定理即可證明．

（1）證明：由得

，

∴

∴

∴A、B、C的坐標是A（2，0），B（0，2），C（－2，0）

∴AB=，BC=，AC=4

∴AC2=AB2+BC2

∴∠ABC=90°

(2)過點D作DE⊥AB于E，

∵BD平分∠ABO，

∴OD=DE，

設OD=x，

∵ 解得,，

∴D點的坐標是

（3）證明：把△OBM繞點O順時針旋轉90°，則旋轉后B點與A點重合，點M對應點E（如圖），連結NE

∴∠NAE=90°

又∠MON=45°，

∴∠NOE=45°

在△MON和△EON中，

∴△OMN≌△OEN（SAS）

∴MN=NE

在△MOB和△EOA中，

∴△MOB≌△EOA，

BM=AE

∴在Rt△NAE中

NE2=AN2+AE2

∴MN2=AN2+BM2