Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點，點D與點C關于軸對稱，點P是軸上的一個動點，設點P的坐標為（，0），過點P做軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線BD于點M．

（1）求該拋物線所表示的二次函數的表達式；

（2）點P在線段AB運動過程中，是否存在點Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）已知點F（0，），當點P在軸上運動時，試求為何值時，以D，M，Q，F為頂點的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）-1或3或 或

【解析】

（1）利用待定系數法求解即可；

（2）由題意結合圖象知△DOB∽△MBQ，△MBQ∽△QPB即△BOD∽△QPB，則有 ，由點的坐標可得，解之即可得此時m值；

（3）先利用待定系數法求出直線BD的解析式，進而得到點Q、M的坐標，再由QM∥DF且四邊形DMQF是平行四邊形知QM=DF，據此列出關于m的方程，解之即可.

（1）由拋物線過點A（﹣1，0）、B（4，0）可設解析式為y=a（x+1）（x﹣4），將點C（0，2）代入，得：﹣4a=2，解得：a=﹣，

則拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣；

（2）存在 ，理由為：

∵∠MBQ=90∴∠MBP+∠PBQ=90

∵∠MPB=∠BPQ=90，

∴∠MBQ+∠BMP=90，

∴∠PBQ=∠BMP，

∴△MBQ∽△QPB，

∵△DOB∽△MBQ，

∴△BOD∽△QPB，

∴，即，

解得：m1=3、m2=4，

當m=4時，點P、Q、M均與點B重合，不能構成三角形，舍去，

∴m=3，點Q的坐標為（3，2）；

（3）由題意知點D坐標為（0，﹣2），設直線BD解析式為y=kx+b，

將B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，解得：，

∴直線BD解析式為y=x﹣2，∵QM⊥x軸，P（m，0），

∴Q（m，）、M（m，m﹣2），

則QM=|﹣（m﹣2）|=|﹣m2+m+4|，

∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF=，∵QM∥DF，

∴當|﹣m2+m+4|=時，四邊形DMQF是平行四邊形，解得：m=﹣1或m=3或

即m=﹣1或m=3或時，四邊形DMQF是平行四邊形；