Question

【題目】如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA=5，OA⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．

（1）試判斷線段AB與AC的數量關系，并說明理由；

（2）若，求⊙O的半徑和線段PB的長．

Answer 1

【答案】（1）AB=AC；（2）圓的半徑是3，線段PB的長為．

【解析】

試題分析：（1）連接OB，根據切線的性質和垂直的定義得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根據等腰三角形的判定推出即可；

（2）延長AP交⊙O于D，連接BD，設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5﹣r，根據AB=AC推出52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，求出r，證△DPB∽△CPA，得出關于BP的比例式，代入求出即可．

解：（1）AB=AC，理由如下：

連接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，

∴∠OBA=∠OAC=90°，

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，

∵OP=OB，

∴∠OBP=∠OPB，

∵∠OPB=∠APC，

∴∠ACP=∠ABC，

∴AB=AC；

（2）延長AP交⊙O于D，連接BD，

設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5﹣r，

則AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，

AC2=PC2﹣PA2=（2）2﹣（5﹣r）2，

∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，

解得：r=3，

∴AB=AC=4，

∵PD是直徑，

∴∠PBD=90°=∠PAC，

又∵∠DPB=∠CPA，

∴△DPB∽△CPA，

∴，

∴，

∴BP=，

答：圓的半徑是3，線段PB的長為．