Question

【題目】已知，，點在線段上，是直線上一點．

(1)如圖1，若，點在的延長線上，且．求證：；

(2)如圖2，若，點是的中點，點在線段上，點是上的一個動點(點與點，不重合)，矩形的頂點，分別在，上．探究與的關系，并給出證明；

(3)在(2)的條件下，當點滿足什么條件時，線段的長最短?(直接給出結論，不必說明理由)

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），證明見解析；（3）點與點重合時，線段的值最小

【解析】

（1）過點作的平行線交于點，證明為等邊三角形，證明，證BE=AD；

（2）連接CD，證明是等腰直角三角形，證明，可證得所需結果；

（3）由，得DE，DF同時最短時，EF最短，此時可得P與D重合

證明：(1)過點作的平行線交于點，

．

是等邊三角形

，

，

是等邊三角形．

．

．

，

．

又，

，

，

，．

(2) ．

證明：連接．

是等腰直角三角形，， 點是的中點，

．

∵四邊形PECF是矩形，

，

是等腰直角三角形，

，

，

在和中，

(3)∵DE=DF，DEDF

∴

∴當DE和DF同時最短時，EF最短

∴當，時，二者最短

∴此時點P與點D重合

∴點P與點D重合時，線段EF最短．