Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CB、CD分別切⊙O于B、D兩點，點E在CD的延長線上，且CE=AE+BC；
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）過點D作DF⊥AB于點F，連接BE交DF于點M，求證：DM=MF．

Answer 1

分析：（1）首先連接OD，OE，由CB、CD分別切⊙O于B、D兩點，即可得∠ODE=90°，CD=CE，又由CE=AE+BC，CE=CD+DE，即可證得AE=DE，則可得△ODE≌△OAE，即可證得AE是⊙O的切線；
（2）首先易證得AE∥DF∥BC，然后由平行線分線段成比例定理，求得比例線段，將比例線段變形，即可求得DM=MF．

解答：證明：（1）連接OD，OE，
∵CB、CD分別切⊙O于B、D兩點，
∴∠ODE=90°，CD=CE，
∵CE=AE+BC，CE=CD+DE，
∴AE=DE，
∵OD=OA，OE=OE，
∴△ODE≌△OAE（SSS），
∴∠OAE=∠ODE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線；

（2）∵DF⊥AB，AE⊥AB，BC⊥AB，
∴AE∥DF∥BC，
∴△BMF∽△BEA，
∴

MF

AE

=

BF

BA

，
∴

CD

CE

=

BF

BA

=

CB

CE

，
∴

MF

AE

=

CB

CE

∵△EDM∽△ECB，
∴

CB

CE

=

DM

DE

，
∴

MF

AE

=

DM

DE

，
∴DM=MF．

點評：此題考查了切線的性質與判定，平行線分線段成比例定理，以及全等三角形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，難度不大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．