Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H．點G在⊙O上，過點G作直線EF，交CD延長線于點E，交AB的延長線于點F．連接AG交CD于K，且KE＝GE．

（1）判斷直線EF與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AC∥EF，，FB＝1，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）相切，理由見解析；（2）4.

試題分析：（1）求出∠OGA=∠OAG，∠AKH+∠OAG=90°，∠KGE=∠GKE=∠AKH，推出∠KGE+∠OGA=∠AKH+∠OAG=90°，得出∠OGE=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）求出∠F=∠CAH，∠OGF=∠CHA=90°，推出Rt△AHC∽Rt△FGO，得出，根據
求出，得出方程，解出即可．
試題解析：（1）如圖，連接OG．
∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG.
∵CD⊥AB，∴∠AKH＋∠OAG＝90°．
∵KE＝GE，
∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH.
∴∠KGE＋∠OGA＝∠AKH＋∠OAG＝90°.
∴∠OGE＝90°，即OG⊥EF.
又∵G在圓O上，∴EF與圓O相切．

（2）∵AC∥EF， ∴∠F＝∠CAH，
∴Rt△AHC∽ Rt△FGO． ∴.
∵在Rt△OAH中，，設AH＝3t，則AC＝5t，CH＝4t．
∴.  ∴.
∵FB＝1 ∴，解得：OG＝4．
∴圓O的半徑為4 .