Question

【題目】完成題目：
（1）如圖（1），點P是正方形ABCD的邊CD上一點（點P與點C，D不重合），點E在BC的延長線上，且CE=CP，連接BP，DE．求證：BP=DE且BP⊥DE；

（2）直線EP交AD于F，連接BF，FC．點G是FC與BP的交點．

①若BC=2CE時，求證：BP⊥CF；
②若BC=nCE（n是大于1的實數）時，記△BPF的面積為S1 ， △DPE的面積為S2 ． 求證：S1=（n+1）S2 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：延長BP交DE于M，

在△BCP和△DCE中，

，

∴△BCP≌△DCE，

∴BP=DE，∠CBP=∠CDE，

∵∠CDE+∠E=90°，

∴∠CBP+∠E=90°，即BP⊥DE

（2）證明：①∵CP=CE，∠PCE=90°，

∴∠CPE=45°，

∴∠FPD=∠CPE=45°，

∴∠PFD=45°，

∴FD=PD，

∵BC=2CE，

∴CD=2CE=2PC，即DP=CP，

∴DF=CP，

在△BCP和△CDF中，

，

∴△BCP≌△CDF，

∴∠FCD=∠CBP，

∵∠CBP+∠BPC=90°，

∴∠FCD+∠BPC=90°，即BP⊥CF；

②設CE=CP=1，則BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1，

∴FD=DP=n﹣1，

S1=S梯形BCDF﹣S△BCP﹣S△FDP

= ×（BC+DF）×CD﹣ BC×CP﹣ DF×FP

= （n+n﹣1）×n﹣ n×1﹣ （n﹣1）2

= （n2﹣1）

= （n+1）（n﹣1），

S2= DP×CE= （n﹣1）×1= （n﹣1），

∴S1=（n+1）S2．

【解析】（1）延長BP交DE于M，證明△BCP≌△DCE，根據全等三角形的性質證明即可；（2）①根據等腰直角三角形的性質、正方形的性質證明△BCP≌△CDF，根據全等三角形的性質證明即可；②設CE=CP=1，根據題意用n表示出BC、DP，根據梯形、三角形的面積公式計算即可．