Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC，射線BP從BA所在位置開始繞點B順時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜180°）

（1）當∠BAC=60°時，將BP旋轉到圖2位置，點D在射線BP上．若∠CDP=120°，則∠ACD ∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），線段BD、CD與AD之間的數量關系是 ；

（2）當∠BAC=120°時，將BP旋轉到圖3位置，點D在射線BP上，若∠CDP=60°，求證：BD﹣CD=AD；

（3）將圖3中的BP繼續旋轉，當30°＜α＜180°時，點D是直線BP上一點（點P不在線段BD上），若∠CDP=120°，請直接寫出線段BD、CD與AD之間的數量關系（不必證明）．

Answer 1

【答案】（1）=，BD=CD+AD；（2）證明見試題解析；（3）BD+CD=AD．

【解析】

試題分析：（1）如圖2，由∠CDP=120°，得出∠CDB=60°，則∠CDB=∠BAC=60°，所以A、B、C、D四點共圓，由圓周角定理得出∠ACD=∠ABD；在BP上截取BE=CD，連接AE．利用SAS證明△DCA≌△EBA，得到AD=AE，∠DAC=∠EAB，再證明△ADE是等邊三角形，得到DE=AD，進而得出BD=CD+AD．

（2）如圖3，設AC與BD相交于點O，在BP上截取BE=CD，連接AE，過A作AF⊥BD于F．先證△DOC∽△AOB，得到∠DCA=∠EBA．再利用SAS證明△DCA≌△EBA，得到AD=AE，∠DAC=∠EAB．由∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°，得出∠DAE=120°，由等腰三角形的性質及三角形內角和定理求出∠ADE=∠AED=30°．解Rt△ADF，得出DF=AD，那么DE=2DF=AD，進而得出BD=DE+BE=AD+CD，即BD﹣CD=AD；

（3）同（2）證明可以得出BD+CD=AD．

試題解析：（1）如圖2，∵∠CDP=120°，∴∠CDB=60°，∵∠BAC=60°，∴∠CDB=∠BAC=60°，∴A、B、C、D四點共圓，∴∠ACD=∠ABD．在BP上截取BE=CD，連接AE．在△DCA與△EBA中，∵AC=AB，∠ACD=∠ABE，CD=BE，∴△DCA≌△EBA（SAS），∴AD=AE，∠DAC=∠EAB，∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DE=AD．∵BD=BE+DE，∴BD=CD+AD．故答案為：=，BD=CD+AD；

（2）如圖3，設AC與BD相交于點O，在BP上截取BE=CD，連接AE，過A作AF⊥BD于F．

∵∠CDP=60°，∴∠CDB=120°．∵∠CAB=120°，∴∠CDB=∠CAB，∵∠DOC=∠AOB，∴△DOC∽△AOB，∴∠DCA=∠EBA．在△DCA與△EBA中，∵AC=AB，∠ACD=∠ABE，CD=BE，∴△DCA≌△EBA（SAS），∴AD=AE，∠DAC=∠EAB．∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°，∴∠DAE=120°，∴∠ADE=∠AED=（180°-120°）÷2=30°．∵在Rt△ADF中，∠ADF=30°，∴DF=AD，∴DE=2DF=AD，∴BD=DE+BE=AD+CD，∴BD﹣CD=AD；

（3）BD+CD=AD．