Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式．

（2）點是軸負半軸上的一點，且，點在對稱軸右側的拋物線上運動，連接，與拋物線的對稱軸交于點，連接，當平分時，求點的坐標．

（3）直線交對稱軸于點，是坐標平面內一點，請直接寫出與全等時點的坐標__________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或或或．

【解析】

（1）直接利用待定系數法即可得；

（2）先根據角平分線的定義可得，再根據平行線的判定與性質可得，從而可得，然后根據等腰三角形的性質可得，最后根據兩點之間的距離公式即可得；

（3）先根據拋物線的解析式求出點C的坐標，從而根據兩點之間的距離公式分別求出AC、AD、CD的長，再利用待定系數法求出直線BC的解析式，從而可得點E的坐標，然后根據兩點之間的距離公式可求出CE的長，最后根據三角形全等的性質分兩種情況，分別建立方程組求解即可得．

（1）由題意，將點，代入拋物線的解析式得：

解得

則拋物線的解析式為；

（2）的頂點式為

則其對稱軸為，頂點D的坐標為

可設點M的坐標為

平分

軸，軸

由兩點之間的距離公式得：

解得

故點M的坐標為或；

（3）對于

當時，，則點C的坐標為

由兩點之間的距離公式得：

設直線BC的解析式為

將點代入得，解得

則直線BC的解析式為

當時，，即點E的坐標為

設點P的坐標為

由兩點之間的距離公式得：

則

因此，要使與全等，有以下兩種情況：

①

即，解得或

則此時，點P的坐標為或

②

即，解得或

則此時，點P的坐標為或

綜上，所求的點P的坐標為或或或．