Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為直角邊且在AD的上方作等腰直角三角形ADF，連接CF．

（1）若AB＝AC，∠BAC＝90°

①當點D在線段BC上時（與點B不重合），試探究CF與BD的數量關系和位置關系，并說明理由．

②當點D在線段BC的延長線上時，①中的結論是否仍然成立，請在圖②中畫出相應圖形并直接寫出你的猜想．

（2）如圖③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA＝45°，點D在線段BC上運動，試探究CF與BC的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①CF＝BD，CF⊥BD，理由詳見解析；②成立，理由詳見解析；（2）CF⊥BD，理由詳見解析．

【解析】

（1）①根據同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“邊角邊“證明△ACF和△ABD全等，②先求出∠CAF=∠BAD，然后與①的思路相同求解即可；

（2）過點A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得AC=AE，∠AED=45°，再根據同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“邊角邊“證明△ACF和△AED全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，從而得到CF⊥BD.

解：（1）①CF＝BD，CF⊥BD，理由如下：

∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，

∴∠CAF+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，

∴∠CAF＝∠BAD，

在△ACF和△ABD中， ，

∴△ACF≌△ABD（SAS），

∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD＝45°，

∵∠ACB＝45°，

∴∠FCB＝90°，

∴CF⊥BD；

②成立，理由如下：如圖2：

∵∠CAB＝∠DAF＝90°，

∴∠CAB+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，

即∠CAF＝∠BAD，

在△ACF和△ABD中， ，

∴△ACF≌△ABD（SAS），

∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∴∠BCF＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，

∴CF⊥BD；

（2）如圖3，

過點A作AE⊥AC交BC于E，

∵∠BCA＝45°，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∴AC＝AE，∠AED＝45°，

∵∠CAF+∠CAD＝90°，∠EAD+∠CAD＝90°，

∴∠CAF＝∠EAD，

在△ACF和△AED中， ，

∴△ACF≌△AED（SAS），

∴∠ACF＝∠AED＝45°，

∴∠BCF＝∠ACF+∠BCA＝45°+45°＝90°，

∴CF⊥BD．