Question

【題目】如圖，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作DE⊥BC，垂足為E.

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)作DG⊥AB交⊙O于G，垂足為F，若∠A＝30°，AB＝8，求弦DG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

試題（1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可．本題可根據等腰三角形中兩底角相等，將相等的角進行適當的轉換，即可證得OD⊥DE；

（2）求DG就是求DF的長，在直角三角形DFO中，有OD的值，∠DOF的值也容易求得，那么DG的值就求得了．

試題解析：（1）證明：連接OD，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO．

∵BA=BC，

∴∠A=∠C，

∴∠ADO=∠C，

∴DO∥BC．

∵DE⊥BC，

∴DO⊥DE．

∵點D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切線．

（2）解：∵∠DOF=∠A+∠ADO=60°，

在Rt△DOF中，OD=4，

∴DF=ODsin∠DOF=4sin60°=2．

∵直徑AB⊥弦DG，

∴DF=FG．

∴DG=2DF=4．