Question

【題目】（1）問題發現

如圖①，直線AB∥CD，E是AB與AD之間的一點，連接BE，CE，可以發現∠B+∠C＝∠BEC．

請把下面的證明過程補充完整：

證明：過點E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），

∴EF∥DC（　 　）

∴∠C＝∠CEF．（　 　）

∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），

∴∠B+∠C＝　 　（等量代換）

即∠B+∠C＝∠BEC．

（2）拓展探究

如果點E運動到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：∠B+∠C＝360°﹣∠BEC．

（3）解決問題

如圖③，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，則∠A＝　 　．（之間寫出結論，不用寫計算過程）

Answer 1

【答案】（1）平行于同一直線的兩直線平行，兩直線平行，內錯角相等，∠BEF+∠CEF；（2）證明見解析；（3）20°．

【解析】

（1）過點作，根據平行線的判定得出，根據平行線的性質得出即可；

（2）過點作，根據平行線的判定得出，根據平行線的性質得出即可；

（3）過點作，根據平行線的判定得出，根據平行線的性質得出即可．

（1）證明：如圖①，過點E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），

∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），

∴∠C＝∠CEF．（兩直線平行，內錯角相等），

∵EF∥AB，

∴∠B＝∠BEF（同理），

∴∠B+∠C＝∠BEF+∠CEF（等量代換）

即∠B+∠C＝∠BEC，

故答案為：平行于同一直線的兩直線平行，兩直線平行，內錯角相等，∠BEF+∠CEF；

（2）證明：如圖②，過點E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），

∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），

∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，

∴∠B+∠C+∠AEC＝360°，

∴∠B+∠C＝360°﹣∠BEC；

（3）解：如圖③，過點E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），

∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），

∴∠C+∠CEF＝180°，∠A＝∠BEF，

∵∠C＝120°，∠AEC＝80°，

∴∠CEF＝180°﹣120°＝60°，

∴∠BEF＝80°﹣60°＝20°，

∴∠A＝∠AEF＝20°．

故答案為：20°．