Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是以AB為直徑的⊙M的內接四邊形，點A，B在x軸上，△MBC是邊長為2的等邊三角形，過點M作直線l與x軸垂直，交⊙M于點E，垂足為點M，且點D平分 ．

（1）求過A，B，E三點的拋物線的解析式；
（2）求證：四邊形AMCD是菱形；
（3）請問在拋物線上是否存在一點P，使得△ABP的面積等于定值5？若存在，請求出所有的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知，△MBC為等邊三角形，點A，B，C，E均在⊙M上，

則MA=MB=MC=ME=2，

又∵CO⊥MB，

∴MO=BO=1，

∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2），

拋物線頂點E的坐標為（﹣1，﹣2），

設函數解析式為y=a（x+1）2﹣2（a≠0）

把點B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2，

解得：a= ，

故二次函數解析式為：y= （x+1）2﹣2；

（2）

證明：

連接DM，

∵△MBC為等邊三角形，

∴∠CMB=60°，

∴∠AMC=120°，

∵點D平分弧AC，

∴∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°，

∵MD=MC=MA，

∴△MCD，△MDA是等邊三角形，

∴DC=CM=MA=AD，

∴四邊形AMCD為菱形（四條邊都相等的四邊形是菱形）；

（3）

解：存在．

理由如下：

設點P的坐標為（m，n）

∵S△ABP= AB|n|，AB=4

∴ ×4×|n|=5，

即2|n|=5，

解得：n=± ，

當 時， （m+1）2﹣2= ，

解此方程得：m1=2，m2=﹣4

即點P的坐標為（2， ），（﹣4， ），

當n=﹣ 時， （m+1）2﹣2=﹣ ，

此方程無解，

故所求點P坐標為（2， ），（﹣4， ）．

【解析】此題主要考查了二次函數綜合以及菱形的判定方法、三角形面積求法和等邊三角形的性質等知識，正確得出E點坐標是解題關鍵．（1）根據題意首先求出拋物線頂點E的坐標，再利用頂點式求出函數解析式；（2）利用等邊三角形的性質結合圓的有關性質得出∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°，進而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；（3）首先表示出△ABP的面積進而求出n的值，再代入函數關系式求出P點坐標．