Question

【題目】在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標是（﹣4，0），點B的坐標是（0，b）（b＞0），點P是直線AB上的一個動點，記點P關于y軸對稱的點為P′．
（1）當b=3時（如圖1），

①求直線AB的函數表達式．
（2）②在x軸上找一點Q（點O除外），使△APQ與△AOB全等，直接寫出點Q的所有坐標
（3）若點P在第一象限（如圖2），設點P的橫坐標為a，作PC⊥x軸于點C，連結AP′，CP′．當△ACP′是以點P′為直角頂點的等腰直角三角形時，求出a，b的值．

（4）當線段OP′恰好被直線AB垂直平分時（如圖3），直接寫出b= ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設直線AB的函數表達式為y=kx+b，

∵點A的坐標是（﹣4，0），點B的坐標是（0，3）

∴有 ，解得： ．

故直線AB的函數表達式為y= x+3．

（2）（﹣9，0）、（﹣8，0）或（1，0）
（3）

解：過P′作PD⊥x軸于點D，如圖所示．

∵點A的坐標是（﹣4，0），點B的坐標是（0，b）（b＞0），

∴直線AB的斜率為 = ，

即直線AB的解析式為y= x+b．

∵點P在直線AB上，

∴點P的坐標為（a， a+b），則點P′的坐標為（﹣a， a+b），點C的坐標為（a，0），點D的坐標為（﹣a，0），

∴P′D= a+b，AC=a+4，AD=4﹣a．

∵點P為第一象限的點，

∴a＞0．

∵△ACP′是以點P′為直角頂點的等腰直角三角形，

∴有 ，即 ，

解得：

（4）
【解析】解：（1）①設直線AB的函數表達式為y=kx+b，
∵點A的坐標是（﹣4，0），點B的坐標是（0，3）
∴有 ，解得： ．
故直線AB的函數表達式為y= x+3．
②∵點P是直線AB上的一個動點，點Q為x軸上一點（點O除外），
∴設點Q的坐標為（m，0），∠PAQ=∠BAO，
∴AQ=|m+4|．
在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB= =5．
△APQ與△AOB全等有兩種情況：
當AQ=AO時，即|m+4|=4，
解得：m=0（舍去），或m=﹣8，
此時點Q的坐標為（﹣8，0）；
當AQ=AB時，即|m+4|=5，
解得：m=﹣9，或m=1，
此時點Q的坐標為（﹣9，0）或（1，0）．
綜上所述：點Q的所有坐標為（﹣9，0），（﹣8，0）或（1，0）．
所以答案是：（﹣9，0），（﹣8，0）或（1，0）．（4）由（3）可知：點P的坐標為（a， a+b），則點P′的坐標為（﹣a， a+b），直線AB的解析式為y= x+b．
則OP′的中點坐標為（﹣ ， ），直線OP′的斜率為 =﹣ ﹣ ．
∵線段OP′恰好被直線AB垂直平分，
∴有 ，
解得： ，或 （舍去）．
所以答案是： ．