Question

【題目】如圖，以△ABC的一邊BC為直徑作⊙O，交AB于D，E為AC的中點，DE切⊙O于點D．

（1）請判斷AC與⊙O的位置關系，并說明理由．

（2）若半徑為5，BD為8，求線段AD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）由題意可得：∠ODC=∠OCD，DE=EC，可證∠ODE=∠OCE，由DE是⊙O切線，可得∠ODC=90°，可證∠OCE=90°，則可判斷AC與⊙O的位置關系；
（2）由題意可證：△ADC∽△CDB，可得，即可求AD的長．

證明：（1）連接CD、DO

∵BC是直徑

∴∠BDC=∠ADC=90°

∵E是中點

∴DE=EC

∴∠EDC=∠ECD

∵OD=OC

∴∠ODC=∠OCD

又 DE切⊙O于點D

∴OD⊥DE

∴∠ODC+∠CDE=90°

∴∠ECD+∠OCD=90°

∴AC⊥OC

∴AC與⊙O相切

（2）∵半徑為5

∴BC=10

在Rt△BDC中，BD=8，BC=10

∴CD=6

∵∠ECD+∠OCD=90°，∠OCD+∠B=90°

∴∠ECD=∠B，且∠BDC=∠ADC=90°

∴△ADC∽△CDB

∴

∴

∴AD=