Question

29、已知x，y，z都是實(shí)數(shù)，且x²+y²+z²=1，則xy+yz+xz的最小值為

1

．

Answer 1

分析：把原式的左右兩邊乘以2，利用加法運(yùn)算律結(jié)合后，根據(jù)（a-b）²≥0，化簡(jiǎn)得到a²+b²≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)），利用此結(jié)論即可求出xy+xz+yz的最小值．

解答：解：把原式兩邊同時(shí)乘以2得：
2（x²+y²+z²）=2，即（x²+y²）+（x²+z²）+（y²+z²）=2，
∵x²+y²≥2xy，x²+z²≥2xz，y²+z²≥2yz，
∴2=（x²+y²）+（x²+z²）+（y²+z²）≥2xy+2xz+2yz，
即xy+xz+yz≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)取等號(hào)，
則xy+xz+yz的最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了完全平方公式的運(yùn)用，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．本題的技巧性比較強(qiáng)，主要體現(xiàn)在（a-b）²≥0，變形得到a²+b²≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)），從而求出所求式子的最小值．