Question

【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,BC、AD是⊙O的切線,過O點作EC⊥OD，EC交BC于C,交直線AD于E．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AE=1，AD=3，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 3﹣π;

【解析】試題分析：（1）首先作OH⊥CD，垂足為H，由BC、AD是⊙O的切線，易證得△BOC≌△AOE（ASA），繼而可得OD是CE的垂直平分線，則可判定DC=DE，即可得OD平分∠CDE，則可得OH=OA，證得CD是⊙O的切線；
（2）首先證得△AOE∽△ADO，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得OA的長，然后利用三角函數的性質，求得∠DOA的度數，繼而求得答案．

試題解析：

(1）證明：作OH⊥CD，垂足為H，

∵BC、AD是⊙O的切線，

∴∠CBO=∠OAE=90°，

在△BOC和△AOE中，，

∴△BOC≌△AOE（ASA），

∴OC=OE，

又∵EC⊥OD，

∴DE=DC，

∴∠ODC=∠ODE，

∴OH=OA，

∴CD是⊙O的切線；

（2）∵∠E+∠AOE=90°，∠DOA+∠AOE=90°，

∴∠E=∠DOA，

又∵∠OAE=∠ODA=90°，

∴△AOE∽△ADO，

∴=，

∴OA2=EAAD=1×3=3，

∵OA＞0，

∴OA=，

∴tanE==，

∴∠DOA=∠E=60°，

∵DA=DH，∠OAD=∠OHD=90°，

∴∠DOH=∠DOA=60°，

∴S陰影部分=×3×+×3×﹣=3﹣π．