Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線交軸于兩點，交軸于點，直線過拋物線的頂點，交軸于點，且．

（1）求和的值；

（2）如圖2，點在點和點之間的拋物線上，連接，過點作于點，過點作軸交于點，點在直線右側的軸上，連接，且，設點的橫坐標為，線段的長為，求與之間的函數關系式；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，過點作于點，延長交于點，點在上，連接，若，求的長．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）或．

【解析】

（1）令，求出，，設拋物線對稱軸交軸于，，則，，求出，得到，代入，求出h，得到，代入求出k；

（2）延長交軸于，設，得，根據正切定義可得，即，由，求出，從而求出；

（3）基本思路：構造直角三角形，利用正切定義列出等式．即：延長和交于點，過點作軸于點，過點作于點，在上取點，使，過點作于點，過點作于點，過點作于點．根據平行線分線段成比例可求出，根據正切定義得，即，求出，根據，求出，PN，得到，代入解析式求出t，再得到WE，NT，TK；設，求出，根據直角三角形性質得到，故，，即．

解：（1）當時，，解得，，

∴，∴，

設拋物線對稱軸交軸于，

∴，設，則，

∴，∴，∴，

∴，代入，

即，∴，

∴代人，即，

∴；

（2）延長交軸于，

設，∴，

∵，∴，

∴，∴，

∵，

∴，∴；

（3）延長和交于點，過點作軸于點，過點作于點，在上取點，使，過點作于點，過點作于點，過點作于點，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，即，∴，

∴，∴，

∴，∴，

∴，解得，或（舍），

∴，∴，

∴，∴，

設，

∴，，，

∴，

根據直角三角形性質得，

∴，

∴，

∴，

∴，

即，

解得或，

∴或．