Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：

對于⊙C及⊙C外一點P，M，N是⊙C上兩點，當(dāng)∠MPN最大時，稱∠MPN為點P關(guān)于⊙C的“視角”．

（1）如圖，⊙O的半徑為1，

①已知點A（0，2），畫出點A關(guān)于⊙O的“視角”；

若點P在直線x = 2上，則點P關(guān)于⊙O的最大“視角”的度數(shù) ；

②在第一象限內(nèi)有一點B（m，m），點B關(guān)于⊙O的“視角”為60°，求點B的坐標(biāo)；

③若點P在直線上，且點P關(guān)于⊙O的“視角”大于60°，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍．

（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，點E的坐標(biāo)為（0，1），點F的坐標(biāo)為（0，-1），若線段EF上所有的點關(guān)于⊙C的“視角”都小于120°，直接寫出點C的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①畫圖見解析；②B（， ）③0<<（2）<或>．

【解析】（1）①如圖1中，過點A作⊙O的切線，切點分別為M、N. 點A關(guān)于⊙O的“視角”就是兩條切線的夾角，∠MAN就是點P在直線x = 2關(guān)于⊙O的“視角”；②由①可知，點A關(guān)于⊙O的“視角”為60°，根據(jù)對稱性即可推出點B的坐標(biāo)；由點P在直線上，從而可求出點P的橫坐標(biāo)的取值范圍.

（2）當(dāng)⊙C的圓心在x軸上，設(shè)切點為P，連接PC則PC⊥AP，想辦法求出點C的坐標(biāo)，求出此時的點C坐標(biāo)，即可解決問題.

解：（1）①畫圖

60°

②∵點B關(guān)于⊙O的視角為60°，

∴點B在以O為圓心，2為半徑的圓上，即OB=2

∵B（m，m） (m>0)，

∴OB=，

∴.

∴B（， ）

③∵點P關(guān)于⊙O的“視角”大于60°，

∴點P在以O為圓心1為半徑與2為半徑的圓環(huán)內(nèi).

∵點P在直線上，由上可得 =0或

∴0<<

（2）<或span>>．

“點睛”本題考圓綜合題、切線的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會尋找特殊位置解決問題，屬于中考壓軸題.