Question

南平是海峽西岸經濟區的綠色腹地．如圖所示，我市的A、B兩地相距20km，B在A的北偏東45°方向上，一森林保護中心P在A的北偏東30°和B的正西方向上．現計劃修建的一條高速鐵路將經過AB（線段），已知森林保護區的范圍在以點P為圓心，半徑為4km的圓形區域內．請問這條高速鐵路會不會穿越保護區，為什么？

Answer 1

分析：過P作PM⊥AB于M，延長BP作BC⊥AC于C．在直角△APC中，運用三角函數用求出AC，BC的長．在直角△PCA中，運用三角函數求出PC的長，從而得到PB的長．在直角△PMB中，運用三角函數求出PM，比較PM與4km的大小關系即可．

解答：解：延長BP作BC⊥AC于C，過P作PM⊥AB于M．
因為B在A的北偏東45°方向上，
所以A在B的南偏西45°方向．
在Rt△ABC中，
∵∠CBA=∠CAB=45°，
∴AC=BC=10

2

．
在直角△PCA中，
∠PAC=30°，則PC=

10 6

3

，
∴PB=10

2

-

10 6

3

，
在直角△PMB中，
PM=（10

2

-

10 6

3

）×

2

2

=10-

10 3

3

≈4.226．
∵4.226＞4，
∴這條高速鐵路不會穿越保護區．

點評：根據三角函數求出PM的長是解決本題的關鍵．