Question

△ABC中，射線AD平分∠BAC，AD交邊BC于E點.

（1）如圖1，若AB＝AC，∠BAC＝90°，則（  ）；

（2）如圖2，若AB≠AC，則（1）中的結論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

(3)如圖3，若AB>AC，∠BAC＝∠BDC＝90°，∠ABD為銳角，DH⊥AB于H，則線段AB、AC、BH之間的數量關系是（              ），并證明.

 

 

Answer 1

【答案】

（1）=；（2）成立，證明見解析；(3) ，證明見解析.

【解析】

試題分析：

由,平分,根據等腰三角形“三線合一”可得：.所以.

(2)求與、與的比，由圖可知.四條線段均為和的兩邊，可用兩三角形的兩組邊與高分別表示面積.如圖，過點分別作于點，于點，過點作于點，由平分可得；然后根據面積公式可得：

；.所以.故圖（1）中的結論成立.

（3）如圖，過點作交的延長線于點，此時易證得，因為，由同角的余角相等，得.進而由可證,得；此時應考慮將等式轉化為用、、來表示，即,；所以，移項可得.

試題解析：（1）解：∵平分

∴

∴

（2）圖（1）中的結論成立.

證明：如圖，過點分別作于點，于點，過點作于點，

∵平分

∴

根據面積公式可得，；

所以.故圖（1）中的結論成立.

（3）證明：如圖，過點作交的延長線于

∵平分，，

∴

∵在和中

.

∴

∴

∵

∴

又∵

∴

∴

∴

在和中

∴

∴

∵

∴

∴

考點：1、角平分線的性質.2、三角形的面積公式的靈活運用.3、三角形全等的判定.4、正方形的判定及性質