Question

數學課上，張老師出示了問題：如圖：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB⊥BF，點P為BC上任意一點，且AP⊥PF，請問：AP與PF相等嗎？請說明理由．
如果把“點P是邊BC上任意一點”改為“點P是邊CB上（除B，C外）延長線上的任意一點”，其它條件不變，那么結論還成立嗎？如果正確，請畫出圖形，寫出證明過程．

Answer 1

分析：（1）作FO⊥CB延長線于O點．則∠FBO=45度，BO=FO．由AP⊥PF，很容易知道∠CAP=∠OPF（同角的余角相等），從而△ACP相似于△POF，故可知

AC

CP

=

PO

FO

，其中PO=PB+BO=PB+FO，AC=BC=PB+PC，代入可知FO=CP；從而AC=PO．進一步知道△ACP全等于△POF，AP=PF．（2）同樣相等，證明方法同上，先證明△ACP相似于△POF，再證明△ACP全等于△POF即可．

解答：解：（1）
如圖作FO⊥CB延長線于O點．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
又∵AB⊥BF，
∴∠FBO=45°，
∴BO=FO，
又∵AP⊥PF，
∴∠CAP=∠OPF（同角的余角相等），
∴△ACP∽△POF，
∴

AC

CP

=

PO

FO

，
∵PO=PB+BO=PB+FO，AC=BC=PB+PC，
∴FO=CP
∴AC=PO．
在△ACP和△POF中，

AC=PO ∠C=∠FOP=90° CP=FO

，
∴△ACP≌△POF（SAS），
∴AP=PF．

（2）如果“點P是邊BC上任意一點”改為“點P是邊CB上（除B，C外）延長線上的任意一點”，如圖

同（1）題可證△ACP∽△POF，
∴

AC

CP

=

PO

FO

，
∵PO=BO-BP=FO-BP，AC=BC=CP-BP，
∴FO=CP
∴AC=PO．
在△ACP和△POF中

AC=PO ∠C=∠FOP=90° CP=FO

∴△ACP≌△POF（SAS），
∴AP=PF．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質，以及全等三角形的判定與性質，正確證明三角形全等的關鍵是作輔助線．