Question

【題目】如圖1～4，在直角邊分別為3和4的直角三角形中，每多作一條斜邊上的高就增加一個三角形的內切圓，依此類推，圖10中有10個直角三角形的內切圓，它們的面積分別記為S1 ， S2 ， S3 ， …，S10 ， 則S1+S2+S3+…+S10= ．

Answer 1

【答案】π
【解析】解：（1）圖1，過點O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足為E、F，
則∠OEC=∠OFC=90°
∵∠C=90°
∴四邊形OECF為矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF為正方形
設圓O的半徑為r，則OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r
∴3﹣r+4﹣r=5，r= =1
∴S1=π×12=π
（2.）圖2，

由S△ABC= ×3×4= ×5×CD
∴CD=
由勾股定理得：AD= = ，BD=5﹣ =
由（1）得：⊙O的半徑= = ，⊙E的半徑= =
∴S1+S2=π× +π× =π
（3.）圖3，

由S△CDB= × × = ×4×MD
∴MD=
由勾股定理得：CM= = ，MB=4﹣ =
由（1）得：⊙O的半徑= ，：⊙E的半徑= = ，：⊙F的半徑= =
∴S1+S2+S3=π× +π× +π× =π
∴圖4中的S1+S2+S3+S4=π
則S1+S2+S3+…+S10=π
故答案為：π．
（1）圖1，作輔助線構建正方形OECF，設圓O的半徑為r，根據切線長定理表示出AD和BD的長，利用AD+BD=5列方程求出半徑r= （a、b是直角邊，c為斜邊），運用圓面積公式=πr2求出面積=π；（2）圖2，先求斜邊上的高CD的長，再由勾股定理求出AD和BD，利用半徑r= （a、b是直角邊，c為斜邊）求兩個圓的半徑，從而求出兩圓的面積和=π；（3）圖3，繼續求高DM和CM、BM，利用半徑r= （a、b是直角邊，c為斜邊）求三個圓的半徑，從而求出三個圓的面積和=π；
綜上所述：發現S1+S2+S3+…+S10=π．