Question

課題：兩個重疊的正多邊形，其中的一個繞某一個頂點旋轉所形成的有關問題．
實驗與論證
設旋轉角∠A₁A₀B₁=α（α＜∠A₁A₀B₁），θ₁，θ₂，θ₃，θ₄，θ₅，θ₆所表示的角如圖所示．

（1）用含α的式子表示：θ₃=

60°-α

，θ₄=

α

，θ₅=

36°-α

；θ₆=

α

，
（2）圖1中，連接A₀H時，在不添加其他輔助線的情況下，直線A₀H是否垂直平分線段A₂B₁？
答：

是

；請說明你的理由；
歸納與猜想
設正n邊形A₀A₁A₂…A_n-1與正n邊形A₀B₁B₂…B_n-1重合（其中，A₁與B₁重合），現將正n邊形A₀B₁B₂…B_n-1繞頂點A₀逆時針旋轉α（0°＜α＜

180°

n

）．
（3）設θ_n與上述“θ₃，θ₄，…”的意義一樣，請直接寫出θ_n的度數．

Answer 1

分析：（1）由正三角形的性質得α+θ₃=60°，再由正方形的性質得θ₄=45°-（45°-α）=α，最后由正五邊形的性質得θ5=108°-36°-36°-α=36°-α；
（2）存在，如在圖1中直線A₀H垂直且平分的線段A₂B₁，由于△A₀A₁A₂與△A₀B₁B₂是全等的等邊三角形，推得A₂H=B₁H，則點H在線段A₂B₁的垂直平分線上；由A₀A₂=A₀B₁，則點A0在線段A₂B₁的垂直平分線上，從而得出直線A₀H垂直且平分的線段A₂B₁
（3）規律：當n為奇數時，θ_n=

180°

n

-α；當n為偶數時，θ_n=α．

解答：解：（1）60°-α，α，36°-α．α；

（2）是                    
圖1中直線A₀H垂直平分A₂B₁，證明如下：
證明：∵△A₀A₁A₂與△B₀B₁B₂是全等的等邊三角形，
∴A₀A₂=A₀B₁，
∴∠A₀A₂B₁=∠A₀B₁A₂．
又∵△A₀A₁A₂與△A₀B₁B₂是等邊三角形，
∴∠A₀A₂H=∠A₀B₁H=60°．
∴∠HA₂B₁=∠HB₁A₂．
∴A₂H=B₁H．
∴點H在線段A₂B₁的垂直平分線上．
又∵A₀A₂=A₀B₁，
∴點A₀在線段A₂B₁的垂直平分線上．
∴直線A₀H垂直平分A₂B₁． 

（3）當n為奇數時，θn=

180°

n

-α；   
當n為偶數時，θ_n=α．

點評：此題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．