Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點A（0，3），點B（-1，0），點D（2，0），DE⊥x軸且∠BED=∠ABD，延長AE交x軸于點F．

（1）求證：∠BAE=∠BEA；

（2）求點F的坐標；

（3）如圖2,若點Q（m，-1）在第四象限，點M在y軸的正半軸上，∠MEQ=∠OAF，設AM-MQ=n，求m與n的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）F（3，0）；（3）m=n，證明見解析．

【解析】

（1）先證明△ABO≌△BED，從而得出AB=BE，然后根據等邊對等角可得出結論；

（2）連接OE，設DF=x，先求出點E的坐標，再根據S△AOE＋S△EOF=S△AOF可得出關于x的方程，求出x，從而可得出點F的坐標；

（3）過Q作QP∥x軸交y軸于P，過E作EG⊥OA，EH⊥PQ，垂足分別為G，H，在GA上截取GK=QH，先證明△EQH≌△EKG，再證明△KEM≌△QEM，得出MK=MQ，從而有AM-MQ=AM-MK=AK=n①；連接EP，證明△AEK≌△PEQ，從而有AK=PQ＝m②，由①②即可得出結論．

解：（1）∵A（0，3），B（－1，0），D（2，0），

∴OB=1，OD=2，OA=3，

∴AO=BD，

又∠AOB=∠BDE=90°，∠BED=∠ABD，

∴△ABO≌△BED（AAS），

∴BA=BE，

∴∠BAE=∠BEA；

（2）由（1）知，△ABO≌△BED，

∴DE=BO=1，∴E（2，1），

連接OE，設DF=x，

∵S△AOE＋S△EOF=S△AOF，

∴3×2×＋（2＋x）×1×=3（2＋x）×，

∴x=1，

∴點F的坐標為（3，0）；

（3）m=n，證明如下：

∵OA=OF=3，∴∠OAF=45°=∠MEQ，

過Q作QP∥x軸交y軸于P，過E作EG⊥OA，EH⊥PQ，垂足分別為G，H，在GA上截取GK=QH，

∵Q（m，－1），E（2，1），

∴EG=EH=PH=PG=2，

又GK=QH，∠EGK=∠EQH=90°，

∴△EQH≌△EKG（SAS），

∴EK=EQ，∠GEK=∠HEQ，

∵∠GEH=90°，∠MEQ=45°，∴∠QEH+∠GEM=45°，∴∠GEK+∠GEM=45°，

即∠KEM=45°=∠MEQ，

又EM=EM，

∴△KEM≌△QEM（SAS），∴MK=MQ，

∴AM-MQ=AM-MK=AK=n①，

∴MQ=MG+KG=MG+QH．

連接EP，△EHP為等腰直角三角形，∠EPH=45°，

∴∠EPQ=∠EPA=45°，△EHP為等腰直角三角形，PE=AE，∠PEA=90°，∵∠KEM=∠MEQ=45°，∴∠KEQ=90°，

∴∠AEK=∠PEQ，∠EPQ=∠KAE，

∴△AEK≌△PEQ，

∴AK=PQ＝m②，

由①②可得，m=n．