Question

【題目】已知函數(shù)C1：y=kx2+（﹣3k）x﹣4．

（1）求證：無論k為何值，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)？

（2）當(dāng)k≠0時(shí)，（n﹣3，n﹣7）、（﹣n+1，n﹣7）是拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，

①求拋物線的表達(dá)式；

②求n；

（3）當(dāng)k≠0時(shí)，二次函數(shù)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，是否存在實(shí)數(shù)k，使△ABC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)k；若不存在，請(qǐng)說明理由？

Answer 1

【答案】（1）證明參見解析；

（2）①y=x2+x﹣4；②n1=，n2=3；

（3）存在，k值為，，，﹣．

【解析】

試題分析：（1）分類討論：①當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，與x軸必有一個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)k≠0時(shí)，計(jì)算判別式得到△=（3k+）2≥0，由此得出無論k為何值，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)；（2）①由（n﹣3，n﹣7）、（﹣n+1，n﹣7）是拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，由坐標(biāo)特點(diǎn)可知，這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得出，對(duì)稱軸為直線x==﹣1，再根據(jù)對(duì)稱軸公式得出=﹣1，解方程求出k的值，從而得出拋物線的表達(dá)式；②將（n﹣3，n﹣7）代入y=x2+x﹣4，即可求出n的值；（3）根據(jù)與x軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，與y軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，由二次函數(shù)的解析式求出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，得出三點(diǎn)中有兩個(gè)定點(diǎn)A（3，0），C（0，﹣4），另一動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0）．AC=5，當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，分AB為底邊、BC為底邊、AC為底邊三種情況求出另一動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出k的值．

試題解析：（1）分類討論：①當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，即y=x﹣4，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，交于點(diǎn)（3，0）；②當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，∵△=（﹣3k）2﹣4k×（﹣4）=（3k+）2≥0，即△≥0，∴此函數(shù)與x軸有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)；綜上可知，無論k為何值，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)；（2）①當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)C1：y=kx2+（﹣3k）x﹣4為二次函數(shù)，∵（n﹣3，n﹣7）、（﹣n+1，n﹣7）是拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，這兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x==﹣1，∴=﹣1，解得k=，∴拋物線的表達(dá)式為y=x2+x﹣4；②∵（n﹣3，n﹣7）是拋物線y=x2+x﹣4上的點(diǎn)，將此點(diǎn)坐標(biāo)帶入：∴n﹣7=（n﹣3）2+（n﹣3）﹣4，解得n1=，n2=3；（3）∵y=kx2+（﹣3k）x﹣4，與x軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，與y軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，∴當(dāng)y=0時(shí)，kx2+（﹣3k）x﹣4=0，解得x1=3，x2=﹣，∴如果設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），那么B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0）．∵x=0時(shí)，y=﹣4，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣4）．AC=5，當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，AC=BC時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），AC=AB，B點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），當(dāng)AB=CB時(shí)，利用勾股定理求出B點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，0），當(dāng)AC=AB，B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)是（8，0），所以當(dāng)﹣=﹣3時(shí)，解得k=；當(dāng)﹣=﹣2時(shí)，解得k=；當(dāng)﹣=﹣時(shí)，解得k=；當(dāng)﹣=8時(shí)，解得k=﹣．綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)k的值為，，，﹣．