Question

如圖①，將▱ABCD置于直角坐標系中，其中BC邊在x軸上（B在C的左邊），點D坐標為（0，4），直線MN：y=x﹣6沿著x軸的負方向以每秒1個單位的長度平移，設在平移過程中該直線被▱ABCD截得的線段長度為m，平移時間為t，m與t的函數圖象如圖②所示．

（1）填空：點C的坐標為　 　；在平移過程中，該直線先經過B、D中的哪一點？　 　；（填“B”或“D”）

（2）點B的坐標為　 　，n=　 　，a=　 　；

（3）在平移過程中，求該直線掃過▱ABCD的面積y與t的函數關系式．

Answer 1

【考點】幾何變換綜合題．

【分析】（1）根據直線解析式求出點M、N的坐標，再根據圖2判斷出CM的長，然后求出OC，從而得到點C的坐標，根據被截線段在一段時間內長度不變可以判斷出先經過點B后經過點D；

（2）根據圖2求出BM=10，再求出OB，然后寫出點B的坐標，利用勾股定理列式求出CD，再求出BC的長度，從而得到BC=CD，判斷出▱ABCD是菱形，再求出MN⊥CD，根據菱形的性質可知n=DO，根據向左平移橫坐標減表示出平移后的直線解析式，把點D的坐標代入函數解析式求出t的值即為a；

（3）分三種情況分段討論即可．

【解答】解：（1）令y=0，則x﹣6=0，解得x=8，

令x=0，則y=﹣6，

∴點M（8，0），N（0，﹣6）

∴OM=8，ON=6，

由圖2可知5秒后直線經過點C，

∴CM=5，OC=OM﹣CM=8﹣5=3，

∴C（3，0），

∵10秒～a秒被截線段長度不變，

∴先經過點B；

故填：（3，0）；B

（2）由圖2可知BM=10，

∴OB=BM﹣OM=10﹣8=2，

∴B（﹣2，0），

在Rt△OCD中，由勾股定理得，CD==5，

∴BC=CD=5，

∴▱ABCD是菱形，

∵，

∴MN⊥CD，

∴n=DO=4

∵設直線MN向x軸負方向平移的速度為每秒1個單位的長度，

平移后的直線解析式為y= （x+t）﹣6，

把點D（0，4）代入得，（0+t）﹣6=4，

解得t=，

∴a=；

故答案為：（1）（3，0），B；（2）（﹣2，0），4，；

（3）當0≤t≤5時，y=0；                                        

當5＜t≤10，如圖1，該直線與BC、CD分別交于F、E，FC=t﹣5，

∵直線CD的解析式為：y=﹣x+4，

∴EF⊥CD，

∴△CEF∽△COD，

∴，

∴，

∴EF=，CE=，

∴y=××==t²﹣12t+30，

當10＜t≤，如圖2，直線與AB、CD分別交于G、E，與射線CB交于F，FB=t﹣10，

∵△BGF∽△COD，

∴

∴FG=，BG=，

y=S_△CEF﹣S_△BGF=﹣=（10t﹣75）=12t﹣90，

當時，如圖3，BG=，AG=5﹣，

∵△EAG∽△DCO，

∵=，

∴DG=×（5﹣），

∴y=20﹣（5﹣）××（5﹣）=，

當t≥時y=20．

綜上所述：

y=．

【點評】本題是一次函數綜合題型，主要利用了平行四邊形的性質，菱形的判定與性質，一次函數圖象的平移，待定系數法求一次函數解析式，表示出平移后的直線MN的解析式是解題的關鍵，也是本題的難點．