Question

【題目】把一張矩形ABCD紙片按如圖方式折疊，使點A與點E重合，點C與點F重合（E、F兩點均在BD上），折痕分別為BH、DG．
（1）求證：△BHE≌△DGF；
（2）若AB=6cm，BC=8cm，求線段FG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠BDC，

∵△BEH是△BAH翻折而成，

∴∠ABH=∠EBH，∠A=∠HEB=90°，AB=BE，

∵△DGF是△DGC翻折而成，

∴∠FDG=∠CDG，∠C=∠DFG=90°，CD=DF，

∴∠DBH= ∠ABD，∠BDG= ∠BDC，

∴∠DBH=∠BDG，

∴△BEH與△DFG中，

∠HEB=∠DFG，BE=DF，∠DBH=∠BDG，

∴△BEH≌△DFG

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，

∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，

∴BD= = =10，

∵由（1）知，FD=CD，CG=FG，

∴BF=10﹣6=4cm，

設FG=x，則BG=8﹣x，

在Rt△BGF中，

BG2=BF2+FG2，即（8﹣x）2=42+x2，解得x=3，即FG=3cm

【解析】（1）先根據矩形的性質得出∠ABD=∠BDC，再由圖形折疊的性質得出∠ABH=∠EBH，∠FDG=∠CDG，∠A=∠HEB=90°，∠C=∠DFG=90°，進而可得出△BEH≌△DFG；（2）先根據勾股定理得出BD的長，進而得出BF的長，由圖形翻折變換的性質得出CG=FG，設FG=x，則BG=8﹣x，再利用勾股定理即可求出x的值．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和矩形的性質的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．