Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中點，弦CG⊥AB于點D，交AE于點F，過點C作⊙O的切線，交BA延長線于點P，連接BE

（1）求證：PC∥AE；

（2）若sin∠P＝，CF＝5，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）BE＝12．

【解析】

（1）連接OC，如圖，先利用切線的性質(zhì)得OC⊥PC，再利用垂徑定理得到OC⊥AE，所以PC∥AE；
（2）設(shè)OC與AE交于點H，如圖，利用垂徑定理得到，根據(jù)圓周角定理得∠ACG=∠CAE，則AF=CF=5，在Rt△ADF中利用三角函數(shù)的定義可計算出DF=3，AD=4，再證明△OAH≌△OCD得到AH=CD=8，所以AE=2AH=16，然后證明Rt△ADF∽Rt△AEB，于是利用相似比可計算出BE．

解：（1）證明：連接OC，如圖，

∵PC為⊙O的切線，

∴OC⊥PC，

∵C是弧AE的中點，

∴OC⊥AE，

∴PC∥AE；

（2）設(shè)OC與AE交于點H，如圖，

∵CG⊥AB，

∴，

∴，

∴∠ACG＝∠CAE，

∴AF＝CF＝5，

∵PC∥AE，

∴∠EAB＝∠P，

在Rt△ADF中，

∵sin∠P＝sin∠FAD＝＝，

∴DF＝3，AD＝4，

在△OAH和△OCD中,

，

∴△OAH≌△OCD（AAS），

∴AH＝CD＝5+3＝8，

∴AE＝2AH＝16，

∵∠DAF＝∠EAB，

∴Rt△ADF∽Rt△AEB，

∴DF：BE＝AD：AE，即3：BE＝4：16，

∴BE＝12．