Question

【題目】如（圖1），在平面直角坐標系中，，，，且滿足，線段交軸于點．

（1）填空： ， ；

（2）點為軸正半軸上一點，若，，且分別平分，如（圖2），求的度數；

（3）求點的坐標；

（4）如（圖3），在軸上是否存在一點，使三角形的面積和三角形的面積相等？若存在，求出點坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）-3，3；（2）45°；（3）（0，）；（4）存在，Q點坐標為（0，5）或（0，2）；

【解析】

（1）根據非負數的性質得a＋b＝0，b-a-6＝0，然后解方程組求出a和b即可得到點A和B的坐標；
（2）由AB∥DE可知∠ODE＋∠DFB＝180°，得到∠DFB＝∠AFO＝180°-140°=40°，所以∠FAO＝50°，再根據角平分線定義得∠OAN＝∠FAO=25°，∠NDM＝∠ODE=70°，得到∠DNM=∠ANO=90°-25°=65°，然后根據三角形內角和定理得∠AMD=180°∠DNM-∠NDM＝45°；
（3）①連結OB，如圖3，設F（0，t），根據△AOF的面積＋△BOF的面積＝△AOB的面積得到×3×t＋×t×3＝×3×3，解得t＝，則可得到F點坐標為（0，）；

（4）先計算△ABC的面積＝，利用△ABQ的三角形＝△AQF的面積＋△BQF的面積得到|y|3＋|y|3＝，解出y即可．

解：（1）∵（a＋b）2＋|b-a-6|＝0，
∴a＋b＝0，b-a-6＝0，
∴a＝3，b＝3，
故答案為：-3，3；

（2）∵AB∥DE，

∴∠ODE＋∠DFB＝180°，

∵，

∴∠DFB＝∠AFO＝180°-140°=40°，

∴∠FAO＝50°，

∵分別平分，

∴∠OAN＝∠FAO=25°，∠NDM＝∠ODE=70°，

∴∠DNM=∠ANO=90°-25°=65°，

∴∠AMD=180°∠DNM-∠NDM＝45°；

（3）連結OB，如圖，
設F（0，t），
∵△AOF的面積＋△BOF的面積＝△AOB的面積，
∴×3×t＋×t×3＝×3×3，解得t＝，

∴F點坐標為（0，）；

（4）存在，

∵，

∴△的面積=，

設Q（0，y），
∵△ABQ的三角形＝△AQF的面積＋△BQF的面積，
∴|y|3＋|y|3＝，

解得y＝5或y＝2，
∴此時Q點坐標為（0，5）或（0，2）；