Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2﹣2mx+m2﹣9．

（1）求證：無論m為何值，該拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且OA＜OB，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣5），求此拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為N，若點(diǎn)M是線段AN上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線MC⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)C，記點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，點(diǎn)P是線段MC上一點(diǎn)，且滿足MP= MC，連結(jié)CD，PD，作PE⊥PD交x軸于點(diǎn)E，問是否存在這樣的點(diǎn)E，使得PE=PD？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：令y=0，則x2﹣2mx+m2﹣9=0，

∵△=（﹣2m）2﹣4m2+36＞0，

∴無論m為何值時(shí)方程x2﹣2mx+m2﹣9=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∵拋物線y=x2﹣2mx+m2﹣9的開口向上，頂點(diǎn)在x軸的下方，

∴該拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．

（2）解：∵拋物線y=x2﹣2mx+m2﹣9與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣5），

∴﹣5=m2﹣9．

解得：m=±2．

當(dāng)m=﹣2，y=0時(shí)，x2+4x﹣5=0

解得：x1=﹣5，x2=1，

∵拋物線y=x2﹣2mx+m2﹣9與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且OA＜OB），

∴m=﹣2不符合題意，舍去．

∴m=2．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x﹣5；

（3）解：如圖2，假設(shè)E點(diǎn)存在，

∵M(jìn)C⊥EM，CD⊥MC，

∴∠EMP=∠PCD=90°．

∴∠MEP+∠MPE=90°

∵PE⊥PD，

∴∠EPD=90°，

∴∠MPE+∠DPC=90°

∴∠MEP=∠CPD．

在△EMP和△PCD中，

，

∴△EPM≌△PDC（AAS）．

∴PM=DC，EM=PC

設(shè)C（x0，y0），則D（4﹣x0，y0），P（x0， y0）．

∴2x0﹣4= y0．

∵點(diǎn)C在拋物線y=x2﹣4x﹣5上；

∴y0═x02﹣4x0﹣5

∴2x0﹣4= （x02﹣4x0﹣5）．

解得：x01=1，x02=11（舍去），

∴P（1，﹣2）．

∴PC=6．∴ME=PC=6．

∴E（7，0）．

【解析】（1）令y=0，則x2﹣2mx+m2﹣9=0，根據(jù)根的判別式b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m2﹣9）=36＞0，所以無論m為何值，該拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．（2）直接將C點(diǎn)（0，﹣5）代入y=x2﹣2mx+m2﹣9根據(jù)拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且OA＜OB），求出m的值即可；（3）假設(shè)E點(diǎn)存在由直角三角形的性質(zhì)可以得出∠MEP=∠CPD．再根據(jù)條件可以得出△EPM≌△PDC就有PM=DC，EM=PC，設(shè)C（x0 ， y0），則D（4﹣x0 ， y0），P（x0 ， y0）．根據(jù)PM=DC就有2x0﹣4=﹣ y0 ， 由C點(diǎn)在拋物線上有2x0﹣4=﹣ （ x02﹣4x0﹣5），求出x0的值就可以得出結(jié)論．