Question

【題目】如圖，是等邊三角形，，點是射線上任意點（點與點不重合），連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接并延長交直線于點．

（1）如圖①，猜想的度數是__________；

（2）如圖②，圖③，當是銳角或鈍角時，其他條件不變，猜想的度數，并選取其中一種情況進行證明；

（3）如圖③，若，，，則的長為__________．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3） ．

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可得，，然后根據旋轉的性質可得，°，從而得出，然后利用SAS即可證出，最后利用對頂角相等和三角形的內角和定理即可求出結論；

（2）根據等邊三角形的性質可得，，然后根據旋轉的性質可得，°，從而得出，然后利用SAS即可證出，最后利用對頂角相等和三角形的內角和定理即可求出結論；

（3）設EC和FO交于點G，根據等邊三角形的性質可得，，然后根據旋轉的性質可得，°，從而得出、∠DCG=45°、∠BEC=30°，然后利用SAS即可證出，從而可求∠FGC=90°，然后根據等腰直角三角形的性質、勾股定理和30°所對的直角邊是斜邊的一半即可得出結論．

解：（1） ∵是等邊三角形，

∴，．

∵線段繞點順時針旋轉60°得到線段,

∴，°．

∴，

即．

在和中

∴．

∴．

又，，．

∴．

（2）．

證明：如圖②，是等邊三角形，

∴，．

∵線段繞點順時針旋轉60°得到線段,

∴，°．

∴，

即．

在和中

∴．

∴．

又，，．

∴．

（3）設EC和FO交于點G

∵是等邊三角形，

∴，．

∵線段繞點順時針旋轉60°得到線段,

∴，°．

∴，

即．

∴∠DCG=∠ECF－∠DCF=45°

∵

∴∠BEC=180°－∠ABC－∠BCE=30°

在和中

∴．

∴=30°

∴∠FGC=180°－∠F－∠ECF=90°

∴△CGD為等腰直角三角形，CG= DG

∴CG 2+DG2=CD2

即2CG2=62

解得：CG= DG=

在Rt△FGC中，FC=2CG =，FG=

∴DF=FG－DG=－